torstai 4. toukokuuta 2017

Digimateriaalien ihanuus ja kurjuus

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön $y' = t^2 - y^2$ suuntakenttä ja ratkaisuja DiffEqWebissa.
Opintoihini Helsingin yliopistossa 60-luvulla kuului differentiaaliyhtälöiden alkeiskurssi. Kyse oli lähinnä integrointitempuista, joilla haettiin ratkaisun lauseke niissä tilanteissa, missä se oli mahdollista. Jokunen graafinen esityskin toki piirrettiin, mutta varsin työläitähän ne olivat.

Vuosituhannen loppuun mennessä tietotekniikan kehitys mahdollisti helpomman graafisten esitysten piirtämisen, jolloin ratkaisujen kvalitatiivisten ominaisuuksien hahmottaminen tuli ymmärrettävämmäksi. Johdin tuolloin Teknillisessä korkeakoulussa MatTa-projektia, jonka puitteissa kehitettiin työkalu sekä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön että korkeampien kertalukujen yhtälöiden tai yhtälöryhmien havainnollistamiseen.

Ensimmäinen versio perustui Matlab-ohjelmaan (nimenä DiffEqLab), mutta vuonna 2001 projektissa työskennelyt Mika Spåra koodasi verkkoselaimessa toimivan Java-sovelman (appletin), nimeltään DiffEqWeb. Ratkaisut laskettiin numeerisesti ja eri numeerisia menetelmiä oli mahdollisuus vertailla. Differentiaaliyhtälöiden opetuksessa saatettiin kiinnittää huomiota ratkaisujen yleisiin ominaisuuksiin ja olemassaoloon sekä numeerisen laskennan mahdollisuuksiin.  Kyseessä ei enää ollut yksinomaan integrointiharjoitus.

DiffEqWeb on edelleen saatavissa osoitteessa http://matta.hut.fi/matta/dew/dew.html, mutta sovelmat eivät enää selaimessa toimi. Java-koodi kyllä on edelleen pätevää, mutta tietoturvasyistä selain ei salli sen ajamista.  Tämän saattoi ehkä kiertää luokittelemalla MatTa-palvelimen turvalliseksi Javan ohjauspaneelissa, mutta ainakaan Firefoxin uusimmissa versioissa tämäkään ei enää ole mahdollista. Paketin päivitystä siis tarvittaisiin.

Yksi kiertotie vielä on: Paketin voi ladata omalle koneelle osoitteesta http://matta.hut.fi/matta/dew/. Kun koneelle asennetaan Java Development Kit, voidaan koodi ajaa Java Applet Viewerilla. Tämä ei toki ole mikään tavallisen käyttäjän menettely.

Tilanne on digimateriaaleille aika luonteenomainen. Tekniikan kehitys (sitähän virukset ja verkkohyökkäyksetkin ovat) vanhentaa materiaalit aika nopeasti. Itse asiassa viisitoista vuotta on tavattoman pitkä ikä digimateriaaleille. Toisin kuin kirjoille. Digimateriaalien tekeminen tarkoittaakin sitoutumista päivityskierteeseen tai uusien versioiden tekemiseen. Toki samalla on aina mahdollisuus parannuksiin ja laajennuksiin.  Tämä on kehitystä, mutta jatkuvaa työpanosta tarvitaan.

DiffEqWeb ei tietenkään ole maailman ainoa paketti differentiaaliyhtälöiden havainnollistamiseen. Monia kuitenkin vaivaavat samat ongelmat: kehitys on jäänyt puolitiehen eikä päivityksiä ei ole jaksettu tehdä. Paketin ylläpito ja kehittäminen on myös arvo sinänsä: se opettaa uskomattoman paljon tietotekniikasta, matematiikasta ja pedagogiikasta.

En aio enää itse paneutua DiffEqWebin kehittämiseen. Lähdekoodit ovat tallessa ja käytettävissä, jos jollakulla on intoa.  Haasteena voisi myös olla vastaavan tekeminen modernimmilla välineillä ja tekniikoilla, vaikkapa GeoGebraa käyttäen.  Paljon on kyllä ilmeisesti tehtykin.

DiffEqWeb: van der Polin yhtälön ratkaisuja faasitasossa ja ajan funktioina.

lauantai 15. huhtikuuta 2017

Kummallinen ylioppilastehtävä

Pulssikäyrään sovitettu toisen asteen interpolaatio

Kevään ylioppilaskirjoitusten lyhyen matematiikan kokeen tehtävä 12 on hieman ihmetyttänyt minua. Lähtötietona on koehenkilön pulssia urheilusuorituksen aikana kuvaava käyrä.  Lähteeksi mainitaan YTL, mutta tehtävänannosta ei ilmene, onko kyseessä todellinen mittaus. Ehkä joku lautakunnan jäsen on käynyt lenkillä.

Tehtävänannon mukaan Kalle ja Leena tekevät biofysiikan perusteiden harjoitustyötä, ja heidän tehtävänään on määrittää pulssikäyrän paikalliset minimikohdat. Kalle ehdottaa derivaatan nollakohtien määrittämistä tätä varten, mutta Leena ei hyväksy ajatusta, koska käyrässä on myös alaspäin suuntautuvia kärkiä. Tehtävän c-kohdassa tulee arvioida Kallen ehdotusta ja Leenan kritiikkiä.

Lautakunnan julkaisemien hyvän vastauksen piirteiden mukaan menetelmän vikana on, että kärkien kohdalla derivaatan merkki muuttuu, ilman että derivaatta saa välissä arvoa 0. Derivaatan avulla ei siis löydetä ainakaan kaikkia minimikohtia.

Tämäkö nyt sitten on menetelmän ongelmana? Käyrähän ilmeisesti perustuu diskreetisti mitattuihin arvoihin, lähinnä kai aikaeroihin peräkkäisten sydämen lyöntien välillä. Mistä tällöin saadaan se derivaatta, jonka nollakohtia voisi yrittää etsiä? Datapisteisiin voidaan tietenkin sovittaa interpolaatiopolynomi tai ehkä splini. Lyhyen matematiikan lukija saattaa ajatella, että tietokone viisaudessaan löytää funktiolle lausekkeen.

Ei kai se näin voi mennä. Jos lähtökohtana on numeerinen data, minimikohtia on etsittävä analysoimalla tätä dataa eikä yritettävä sovittaa dataan jotakin lauseketta, joka mahdollisesti voitaisiin derivoida. Tällaista ei voida välttämättä lainkaan löytää, ellei taustalla ole jotakin teoriaa, joka ennustaa käyrän periaatteellisen muodon. Tehtävä antaa siten väärän kuvan matematiikan soveltamisesta.

Taustana lienee, että derivaattaa käsitellään lyhyessä matematiikassa ja silloin sille on tarpeen löytää sovelluskohteita. Laskentaohjelmien käytössäkin on symbolinen laskenta noussut numeerista tärkeämmäksi.  Derivoidaan siis mieluummin kuin analysoidaan dataa.  Taulukkolaskenta voisi usein olla paremmin paikallaan kuin itsetarkoituksellinen symboliikka.

Odottaisin tehtäviltä suurempaa rehellisyyttä. Ei lukiolaisia pidä huijata uskomaan matematiikan käyttökelpoisuuteen, vaan näyttää sen käyttökelpoisuus todellisissa yhteyksissä. Näennäissovellukset vain tukevat käsitystä, ettei matematiikasta mitään todellista hyötyä ole.

sunnuntai 12. maaliskuuta 2017

Colosseumin eksentrisyys ja GeoGebra


Jonkin ohjelmiston käyttökelpoisuutta on usein hyvä yrittää testata ongelmalla, jossa todennäköisesti joudutaan ohjelmiston mahdollisuuksien rajoille. Ratkaisu ehkä voidaan löytää, mutta matkalla törmätään ohjelmiston ongelmakohtiin ja rajoituksiin.

Googlelta löytyy hyvä ilmakuva Rooman Colosseumista. Ääriviiva näyttää ellipsiltä. Miten tarkoin se on? Jos se on, niin mikä olisi eksentrisyys?

Kuvan saa vaivatta luetuksi GeoGebraan. Ellipsi tulee määrätyksi, jos tunnetaan viisi pistettä sen kehältä. GeoGebrasta löytyy valmis työkalu, ja naputtelemalla viisi pistettä Colosseumin reunalta saadaan piirretyksi ellipsi, joka hämmästyttävän hyvin yhtyy reunaan. Mitenkähän Colosseumin arkkitehti on rakennelman suunnitellut?

Seuraavassa käsittelen vain kuvassa olevaa ulompaa ellipsiä. Tämän yhtälö $c$ löytyy GeoGebran algebraikkunasta. Yhtälön avulla voidaan hakea ellipsin keskipiste, akselit ja eksentrisyys. Käytössä ovat grafiikka-, algebra- ja CAS-ikkunat. Laskenta voi ehkä olla yksinkertaisempaakin, joten otan mielelläni vastaan kommentteja.

Pohjana on analyyttinen geometria sellaisena kuin sitä aikoinaan yliopistoissa opetettiin. Nykyään ei enää. Referenssinä voi käyttää vanhoja yliopistotason oppikirjoja, joiden uusimmassa päässä on oma kirjani Algebra ja geometria.  En esitä seuraavassa teoriaa enkä perustele yhtälöiden muodostamista.

Geogebratiedosto sekä algebra- ja CAS-ikkunoiden pdf-kuvat löytyvät linkeistä http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseum.ggb
http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseumAlg.pdf
http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseumCAS.pdf

CAS-laskennan riveillä 1--4 on määritetty ellipsin keskipiste. Riveillä 5--6 on muodostettu ellipsin yhtälön toisen asteen osan, neliömuodon matriisi $a$. Riveillä 7--8 määritellyt vektorit ovat probleeman tuntemattomat, jotka tarkoittavat pääakselisuuntia. Näille muodostetaan neljä yhtälöä (rivit 9--12): Ensimmäinen vaatii, että kyseessä ovat liittosäteet. Toisen mukaan näiden tulee olla kohtisuoria, jolloin ne ovat akselisuuntia. Kolmas ja neljäs vaativat, että vektoreiden päätepisteet ovat ellipsin kehällä, kun alkupiste on ellipsin keskipisteessä.

Neljän tuntemattoman ja neljän epälineaarisen yhtälön ryhmän ratkaiseminen onnistuu rivillä 13 ja saadaan kahdeksan ratkaisua. Nämä ovat oleellisesti samoja ja eroavat ainoastaan vektoreiden järjestyksen ja vastakkaisuuden suhteen. Kun akselit tunnetaan, niiden pituudet ja eksentrisyys voidaan laskea (rivit 14--18). Colosseumin ulkokehän eksentrisyys on 0.60.

Ratkaiseminen siis onnistui. Millaisia olivat kokemukset?

Yrityksiä ja erehdyksiä tarvittiin paljon. GeoGebran dokumentaatiosta ei ollut aivan helppoa löytää tarjolla olevia funktioita tai komentoja ja niiden käyttöä tai merkitystä. Muutaman kerran GeoGebra kaatui ja hukkasi kaiken siihen mennessä lasketun. Aloinkin tallettaa tiedoston parin kolmen operaation välein.

Eksentrisyyden laskemisessa tuli yllätys. Laskua varten täytyy tietää, kumpi akseli on iso ja kumpi pieni. Useamman kerran laskettaessa tuli vaihdellen oikea tulos ja kompleksinen arvo. Syynä on, että GeoGebra ilmeisesti laskee ajoittain yhtälöryhmän ratkaisun uudelleen ja tulokset tulevat eri järjestyksessä.  Tämä johtaa ison ja pikku akselin roolien vaihtumiseen. Koodissa siis pitäisi testata, kumpi vektorinpituus on suurempi ennen eksentrisyyden laskemista.  Toisinaan yhtälöryhmälle tuli myös virheellinen ratkaisu.

Kyse on periaatteessa siitä, onko laskentadokumentti dynaaminen ja mikä muutos aiheuttaa sen uudelleen laskemisen. Luontevinta ehkä olisi, että se lasketaan uudelleen vain käyttäjän nimenomaisesta käskystä.

Laskenta on tehty paikallisesti asennetulla GeoGebralla. Verkkoversiossa en saanut yhtälöryhmän ratkaisua onnistumaan.

Luonteva ajatus olisi pakata laskennan vaiheet makroksi, jolla olisi yksi argumentti, nimittäin ellipsi, jota lähdetään tarkastelemaan. Tällöin saataisiin vähällä vaivalla esimerkiksi Colosseumin sisemmän ellipsin eksentrisyys.  GeoGebrassa voidaan tehdä komentoja sisältäviä skriptejä, jotka käynnistetään esimerkiksi painikkeesta. En kuitenkaan löytänyt tapaa antaa näille argumenttia (parametria). Joko se ei ole mahdollista tai dokumentaatio oli minulle liian vaikeaa.

GeoGebra on monessa suhteessa näppärä työkalu, mutta CAS-osio ei ole täysin onnistunut. Yksinkertaiset tehtävät kyllä sujuvat, mutta mahdollisuutta kasvaa sen mukana vaativampiin tehtäviin ei oikein ole. Sääli.

perjantai 3. maaliskuuta 2017

Matematiikan kai pitäisi olla matematiikkaa



Ymmärtämätön CAS-ohjelmistojen käyttö lukiomatematiikassa saattaa uhata matematiikan oppimista. Oheinen GeoGebra-kuvio voisi olla vastaus tehtävään, jossa annetaan yksi taso yhtälön avulla ja toinen kolmen pisteen avulla. Tehtävänä on määrittää toisenkin tason yhtälö ja tasojen välinen kulma.

GeoGebrassa niin kuin monessa muussakin CAS-ohjelmassa on tarjolla valmiita funktioita: Plane (suomeksi Taso) antaa tason yhtälön, kun argumentteina on kolme tason pistettä. Angle (Kulma) antaa tasojen välisen kulman radiaaneissa, kun argumentteina ovat yhtälöiden kertoimista saadut lukukolmikot. Tehtävän ratkaisemiseen riittää tietää, millaisia GeoGebra-funktioita on käytettävissä, niiden sisällä olevasta matematiikasta ei tarvitse tietää mitään. Radiaanit muunnetaan asteiksi maagisen näköisellä tempulla: kirjoitetaan kulman perään $/^\circ$.

Eihän tämä ole matematiikkaa. Kyseessä on erään ohjelman syntaksin ja makrojen opettelu.  Eikä ohjelmaa tarvitse enää missään, kun on valkolakin saanut. No, poikkeuksena matematiikan opettajat.

Yleensä ensimmäinen ajatus tilanteen korjaamiseksi on laatia ylioppilaskoetta varten säännöt, miten ohjelmaa saa tai ei saa käyttää ja millaisia lausumia tai perusteluja koesuoritukseen tulee sisällyttää. Matematiikan tunteja voidaan tietenkin käyttää näiden sääntöjen opetteluun, mutta ei sekään ole matematiikkaa.

Perusongelmana on, että matematiikan osaamista on perinteisesti testattu antamalla laskettavaksi joukko tehtäviä. Jos nämä on saatu edes likimain oikein, on katsottu, että matematiikan osaaminen on tullut näytetyksi. Laskentavälineiden aikakaudella näin ei kuitenkaan ole. Hyvillä ohjelmistoilla on mahdollista saada oikeita tuloksia mitään ymmärtämättä. Tosin myös täysiä päättömyyksiä.

Luontevaa olisi luopua ajatuksesta, että oikein laskettu lasku osoittaa ymmärtämistä.  Kysyttäköön sitä, mitä halutaan testata. Esimerkiksi on selostettava, millaisella algebrallisella menettelyllä saadaan tason yhtälö, kun kolme tason pistettä tunnetaan.  Mukaan itse laadittu esimerkki menettelyn soveltamisesta. Arvostelusta voi tulla vaikeampaa, mutta annetaanhan monissa reaaliaineissakin esseevastauksia.

Ohjelmakoodien kirjoittaminenkin soveltuisi tähän yhteyteen. Koodihan on tapa kuvata laskentamenettely.

Koulumaailmassa eniten käytettyjen CAS-ohjelmien (ei yksin GeoGebran) kehitys on ikävä kyllä edennyt väärään suuntaan. Valmiiden funktioiden, komentojen ja toimintojen määrä on suuri ja kasvaa jatkuvasti, mikä lisää kiusausta keskittyä matematiikan opinnoissa näiden opetteluun sen sijaan, että paneuduttaisiin peruskäsitteisiin ja -toimintoihin. Parempi olisi tyytyä melko harvoihin perustoimintoihin, joiden avulla tulisi itse ohjelmoida pidemmälle meneviä funktioita ja toimintoja. Tällöin opittaisiin asioita, joilla on käyttöä myöhemmässä elämässä.

Ohjelmakoodin kirjoittamisella on lisäksi kasvatuksellinen merkitys. Jos koodi ei toimi, se ei ole oikein. Virhe voi olla pieni, mutta se on korjattava eikä selitettävä tuotosta melkein oikeaksi.

maanantai 13. helmikuuta 2017

Innostaako matematiikka?


Kuusikymmentäluvulla — ennen joukko-oppiin lankeamista — lukion matematiikkaan ilmestyi uusia asioita, mm. differentiaali- ja integraalilaskennan epsilon-delta-tarkasteluja. Aivan helppoja nämä eivät olleet, mutta jonkinlaista innostusta oli ilmassa.

Runsasta kymmentä vuotta myöhemmin alettiin ohjelmoida ja taas saatiin jotakin uutta kiinnostavaa. Mukaan tuli numeerinen matematiikka. Olin itsekin kirjoittamassa pikku kirjasta numeerisista algoritmeista; mukana oli BASIC-koodeja.

Samoihin aikoihin ilmestyi Benoît Mandelbrotin kirja The Fractal Geometry of Nature ja alettiin muodostaa laskemalla häkellyttävän monimutkaisia fraktaalikuvioita. Olin esittelemässä itse laskemiani fraktaaleja Matemaattisten opettajien liiton (MAOL) päivillä ja kiinnostusta riitti.

Mitä sittemmin on tapahtunut? Pelkään, että on menty alamäkeä.  Oppisisältöjä on karsittu, osaamista kyllä testataan ja joissakin testeissä on toki menestyttykin, mutta innostusta on vaikea havaita.  Oppikirjat ovat minusta uskomattoman tylsiä. Ylioppilaskoe pakottaa keskittymään tietokoneiden buuttaamiseen eksoottisissa olosuhteissa ja moninaisten ohjelmien käyttämiseen, vaikka niiden tarpeellisuus usein jää hämäräksi.

Olisiko mahdollista tehdä jotakin positiivisempaa? Ehkä se olisi mahdollista. Hyvänä esimerkkinä on Ursa, joka on tehnyt tavattoman paljon tähtitieteen harrastamisen hyväksi. Mutta tähtitiede ei olekaan kouluaine.

Olen kantanut korteni kekoon tekemällä kirjan, jonka kansi on yllä.  Toivon sen osaltaan näyttävän, että matematiikka on laajempaa, monipuolisempaa ja kiintoisampaa kuin koulukurssin perusteella voisi kuvitella. Olkaapa hyvät!

Tarkempia tietoja kirjan omalta nettisivulta http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html.

torstai 26. tammikuuta 2017

Suoran piirtäminen paperin ulkopuolella olevan pisteen kautta

Kaksi pistettä määrää tunnetusti suoran yksikäsitteisesti.  Asettamalla viivoittimen reuna pisteiden kautta suora voidaan alkeisgeometriassa piirtää. Tehtävästä tulee vaikeampi, jos toinen piste sijaitsee piirustuspaperin ulkopuolella ja tunnetaan vain kahden tunnetun suoran leikkauspisteenä. Ongelma tosin on hieman vanhanaikainen: moderneissa geometriaohjelmissahan ei ole piirustuspaperia ja kaukana oleviin pisteisiin päästään käsiksi piirustusalaa skaalaamalla tai siirtämällä.

Tehtävä on kuitenkin mielenkiintoinen ja avaa näköaloja hieman pidemmällekin. Annettuna on siis kaksi suoraa ja piste. Tulee piirtää annetun pisteen $P$ ja suorien $s_1$ ja $s_2$ leikkauspisteen $Q$ kautta kulkeva suora, mutta $Q$ on kuitenkin kaukana.


Tarvittava konstruktio on seuraava: Valitaan jokin piste $K$ ja piirretään sen kautta kolme suoraa (punaiset). Yksi näistä leikkaa suoran $s_1$ pisteessä $A_1$ ja suoran $s_2$ pisteessä $A_2$.  Piirretään suorat $PA_1$ ja $PA_2$. Nämä leikkaavat toisen punaisista suorista pisteissä $B_1$ ja $B_2$. Kolmas punainen suora leikkaa suorat $s_1$ ja $s_2$ pisteissä $C_1$ ja $C_2$.  Piirretään suorat $B_1C_1$ ja $B_2C_2$. Näiden leikkauspiste $R$ on etsittävän suoran piste, ts. pisteet $P$, $Q$ ja $R$ ovat samalla suoralla $s$.

Miksi konstruktio sitten toimii? Kyseessä on Desarguesin lause: Jos suorat $A_1A_2$, $B_1B_2$ ja $C_1C_2$ kulkevat saman pisteen kautta, niin pisteet \[P = A_1B_1 \cap A_2B_2, \quad R = B_1C_1 \cap B_2C_2, \quad Q = C_1A_1 \cap C_2A_2\] ovat samalla suoralla. Tässä $A_1B_1 \cap A_2B_2$ tarkoittaa suorien $A_1B_1$ ja $A_2B_2$ leikkauspistettä jne. Girard Desargues oli ranskalainen 1600-luvulla vaikuttanut matemaatikko (ks. esim. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Desargues.html).

Desarguesin lauseen todistus on helpompi kolmessa dimensiossa kuin kahdessa.

Jos nimittäin kolme punaista suoraa eivät ole samassa tasossa, niillä olevat pisteet $A_1$, $B_1$ ja $C_1$ määräävät erään tason, pisteet $A_2$, $B_2$ ja $C_2$ vastaavasti toisen tason. Näiden leikkaussuora olkoon $s$.

Toisaalta pisteet $K$, $A_1$ ja $B_1$ määräävät tason, jossa myös pisteet $A_2$ ja $B_2$ ovat. Suorat $A_1B_1$ ja $A_2B_2$ sijaitsevat tässä tasossa eivätkä siis ole ristikkäisiä. Tällöin niillä on leikkauspiste $P$. Tämä sijaitsee sekä tasossa $A_1B_1C_1$ että tasossa $A_2B_2C_2$, ts. suoralla $s$.

Vastaavasti voidaan osoittaa, että sekä suorien $B_1C_1$ ja $B_2C_2$ leikkauspiste $R$ että suorien $C_1A_1$ ja $C_2A_2$ leikkauspiste $Q$ ovat suoralla $s$.

Kaksidimensioinen todistus saadaan tämän jälkeen tulkitsemalla kaksidimensioinen kuvio kolmidimensioisen projektiokuvaksi.

Päättelyissä ja jo alkuperäisessä kuviossakin syntyy poikkeustilanteita, jos jotkin suorat eivät leikkaakaan, vaan ovat yhdensuuntaisia.  Esimerkiksi alkuperäisestä kuviosta voi kysyä, mitä tapahtuu, jos suorat $s_1$ ja $s_2$ ovatkin yhdensuuntaiset. Projektiivisessa geometriassa tällaiset ongelmat ratkeavat liittämällä geometriseen tasoon äärettömän kaukaisia pisteitä. Ajatellaankin, että kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa toisensa äärettömän kaukana olevassa pisteessä, johon päästään etenemällä suoria pitkin kumpaan tahansa suuntaan. Tällä tavoin syntyy ristiriidaton — ja kaunis — geometria, mutta kaikkia euklidisen geometrian totuttuja ominaisuuksia sillä ei ole.

perjantai 16. joulukuuta 2016

Funktioteoreettiset piparit

Joulun kunniaksi esittelen funktioteoreettisen sovelluksen piparimuottien valmistamiseen. Älköön kukaan kuitenkaan ajatelko, että tämä on esimerkki matematiikan soveltamisesta arkielämään tai osoitus matematiikan tarpeellisuudesta.  Jouluhan on sitä paitsi juhla eikä arkea.

Kompleksimuuttujan kompleksiarvoisia funktioita $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ voi tutkiskella selvittämällä, millaiseksi käyräksi kuvautuu sopivasti valittu lähtötason käyrä, esimerkiksi suora tai yksikköympyrä.

Funktion
\[
f(z) = \left(z^p + \frac{1}{2z^p}\right)^{1/p}
\]
tapauksessa sopiva käyrä on yksikköympyrä. Luontevinta on, että $p$ on luonnollinen luku, mutta myös puoliluvut $1/2$, $3/2$, $5/2$ jne. kelpaavat. Tuloksena on piparkakkumuottikäyriä:

$2p = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 200$

Aivan ongelmaton tilanne ei ole, sillä piparkakkumuotin tulee olla umpinainen käyrä, mutta kompleksiluvun vaihekulman eli argumentin antava funktio $\arg$ saa arvonsa väliltä $]-\pi,\pi]$ ja jaksolliseksi laajennettuna sillä on hyppyepäjatkuvuus kohdissa $\pi + 2n\pi$ ($n$ kokonaisluku tavanomaiseen tapaan). Tämä on korjattava jatkuvaksi, jotta saadaan umpinainen piparkakkumuotti.  Saman asian voi tehdä valitsemalla sopiva arvo funktion lausekkeessa olevalle $p$:nnelle juurelle (eli potenssille $1/p$). Kompleksitasossahan $p$:nnellä juurella on $p$ eri suurta arvoa.

Jotkut ratkovat ristisanatehtäviä aikansa kuluksi. Matemaattisemmin orientoituneet henkilöt saattavat olla kiinnostuneita matemaattisen ohjelmakoodin selvittelystä. Tarjoan pohdittavaksi Mathematica-koodin, joka piirtää piparimuotteja. Ongelmana siis on, mitä mikäkin koodirivi tekee.


Vihjeeksi Mathematica-ohjelmiston käyttämän kielen, ns. Wolfram Languagen verkkodokumentti: http://reference.wolfram.com/language/.

Tämän jälkeen voikin ryhtyä tekemään piparkakkumuotteja 3D-tulostuksella.  Minulla itselläni on vanhemmalla tekniikalla tehdyt: peltiä leikkaamalla ja taivuttelemalla.



Lopuksi toivotan kaikille riemullista joulujuhlaa.