tiistai 23. elokuuta 2016

Kokeellisen matemaatikon painajainen

Olen aina toisinaan tallettanut osoitteita matemaattisiin verkkodokumentteihin, jotka mahdollisesti ansaitsevat lähempää huomiota. Muutama päivä sitten tulin uudelleen katsoneeksi blogikirjoitusta, jossa pohdittiin seuraavantyyppisiä integraaleja:
\begin{align*}
I_1 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,dx\,, \\
I_2 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,dx\,, \\
I_3 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,dx\,, \\
I_4 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,\frac{\sin(x/7)}{x/7}\,dx\,, \\
\vdots
\end{align*}
tai yleisemmin
\[
I_n = \int_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{\sin(x/(2k-1))}{x/(2k-1)}\,dx.
\]

Näiden laskeminen ei ole aivan helppoa, mutta matematiikassakin voi harrastaa kokeilua.  Tuloksena voi olla hypoteesi tai vastaesimerkki. Katsotaan siis, suoriutuisiko laskentaohjelma integraaleista ja millaisia tuloksia se antaisi. Mathematica suoriutuu:
\[
I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = I_5 = I_6 = I_7 = \pi/2.
\]
Tämän perusteella tuntuu jo aika selvältä, että tulos on aina $\pi/2$.

Seuraava integraali tuottaa kuitenkin yllätyksen:
\[
I_8 = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi.
\]
Onko asia todella näin vai onko Mathematica yksinkertaisesti laskenut väärin? Numeerisen integroinnin kokeilukaan ei auta, sillä edessä oleva kerroin ei paljoa puolikkaasta poikkea: 15-desimaalinen likiarvo nimittäin on $0.499999999992647$. Numeerisella integroinnilla saattaa olla vaikeata päästä näin suureen tarkkuuteen.

Ei siis liene muuta keinoa kuin pyrkiä laskemaan integraalit analyyttisesti. Tämäkin kyllä onnistuu: työkaluiksi kelpaavat esimerkiksi konvoluutio ja Fourier'n muunnos. Yksityiskohtainen esitys löytyy Hanspeter Schmidin artikkelista: http://www.schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf.  Hakusanoilla 'borwein integral' Google löytää materiaalia enemmänkin.

Lähteenäni ollut blogiartikkeli on osoitteessa http://www.thebigquestions.com/2012/03/26/loose-ends/. Se kertoo myös Jonathan Borweinin Maplelle tekemästä kepposesta (= practical joke).

Niin, laskiko Mathematica siis väärin? Ei laskenut, tulos on aivan oikea. Hieman yllättävä se on, mutta Hanspeter Schmidin artikkeli antaa ilmiölle luontevan selityksen. Indeksistä 8 eteenpäin integraalien arvot hiljakseen pienenevät.

maanantai 8. elokuuta 2016

Lukio ja matemaattinen yleissivistys

Lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan lukiokoulutuksen tehtävänä on yleissivistyksen vahvistaminen. Yleissivistys puolestaan muodostuu arvoista, tiedoista, taidoista, asenteista ja tahdosta. Tätä ei ole aivan helppoa konkretisoida oppiainekohtaisesti, mutta ehkä ei ole aivan väärin sanoa, että yleissivistys on sitä, mikä jää jäljelle, kun kaikki detaljitieto on unohtunut.

Millaisen matemaattisen yleissivistyksen lukio sitten antaa? Pelkään, ettei oikeastaan mitään. Opetussuunnitelman perusteet luettelee joukon detaljeja, jotka kursseissa on käsiteltävä, toisinaan vielä rajaten pois näkökulmia, jotka saattaisivat kehittää ajattelua. Kun detaljit ovat unohtuneet, ei jää jäljelle oikein mitään. Ei ole yllättävää, että monet lukion käyneet myöhemmin sanovat, että eivät ole tarvinneet matematiikkaa mihinkään eikä siitä ole ollut mitään hyötyä.

Historiaakin voisi tietenkin opettaa detaljikokoelmana, mutta onneksi näin ei tehdä. Eivät yksityiskohdat sinänsä ole tärkeitä, mutta ne rakentavat kokonaisuutta ja luovat näkemystä. Samoin pitäisi tapahtua matematiikassa.

Matematiikan opetussuunnitelmaa leimaa ajatus opettaa laskemaan ylioppilaskokeessa esiintyvät laskut. Toki tämä auttaa myös matematiikkaa hyödyntävien alojen jatko-opinnoissa, mutta muiden alojen opiskelijoille hyöty jää vähäiseksi.

Mitä matemaattinen yleissivistys sitten olisi ja miten sen tulisi näkyä lukion opetussuunnitelmassa? Muutamien pääideoiden tulisi hahmottua lukiolaiselle:

Kirjaimilla laskeminen eli algebra. Kyseessä on seuraava askel luvuilla laskemisen jälkeen. Kaavojen käyttö tulee mahdolliseksi, asioita voidaan tutkia sotkeutumatta lukujen muodostamiin erikoistapauksiin, löytyy lähes mekaaninen tekniikka yhtälöiden ratkaisemiseen jne.

Funktio on ehkä matematiikan tärkein käsite. Sen avulla kuvataan asioiden välisiä riippuvuuksia joko numeerisesti, lausekkeilla tai mutkikkaammilla määrittelyillä.  Funktion mallina esitetään usein ns. funktiokone, joka onkin hyvä malli, koska jokaisella oppilaalla on sellainen: laskin.

Geometria opettaa ymmärtämään kaksi- tai kolmiulotteista tilaa. Näkökulmia on kaksi: kulttuurihistoriallisesti tärkeä ja ajattelua kehittävä antiikin kreikkalaisten idea päätellä mutkikkaammat totuudet yksinkertaisempien pohjalta ja paljon myöhemmin syntynyt geometrian ja algebran symbioosi, geometrian hallitseminen laskemalla.

Käsitteellisesti vaativia ovat rajaprosessit: mitä tapahtuu, kun jokin muuttuja lähestyy jotakin jollakin tavoin kriittistä arvoa. Kyseessä on laajan kokonaisuuden lähtökohta: analyysi raja-arvoineen, sarjoineen, derivaattoineen, integraaleineen.  Matematiikan historiaan tämä on ilmestynyt suhteellisen myöhään, vaikka ensimmäisillä sittemmin unohtuneilla ideoilla onkin ikää paljon.

Toisinaan diskreetiksi matematiikaksi kutsuttu hieman diffuusi kokonaisuus: kombinatoriikka, (abstrakti) algebra, logiikka, jolla on kasvava merkitys digitaalisessa maailmassa.

Tietotekniikan käyttöä en pääideoihin sisällytä. Sen tulee olla tavanomainen apuväline kaikessa työskentelyssä, mutta ainakaan toistaiseksi se ei ole merkittävä osa varsinaista matematiikkaa.

Selvyyden vuoksi lienee syytä sanoa, että edellä sanottu ei ole tarkoitettu opetussuunnitelmaksi. Kyseessä ovat käsitteellisesti merkittävät asiat, joiden tulisi olla opetussuunnitelman laatimisen lähtökohtana ja antaa opetussuunnitelmalle tietty ryhti. Kurssijaon ja -sisältöjen muodostaminen on tämän jälkeen oma tehtävänsä, joka ei ole aivan helppo.

tiistai 31. toukokuuta 2016

Differentiaaliyhtälöitä ja planeettaliikettä lukiolaisille

Planeettaliike: Maa-Kuu-systeemi
Olin toukokuun alussa puhumassa matematiikasta eräässä lukiossa. Kuulijat olivat ykkös- ja kakkosluokkalaisia, tiesivät jotakin vektoreista ja derivaatasta, osa juuri ja juuri. Tarkoituksena oli antaa jonkinlainen mielikuva siitä, mihin oikein kelpaa — esimerkiksi — se matematiikka, jota he ovat opiskelemassa.

Kun kerran derivaattafunktio suurin piirtein tiedettiin, oli mahdollista esitellä differentiaaliyhtälön käsite, katsoa jokin esimerkki tällaisten ratkaisuista ja lähestyä ongelmaa graafisesti. Erotusosamäärän käsite antoi eväät numeerisen ratkaisemisen ymmärtämiseen. Samalla näkyi, miksi alkuehdot ovat tarpeen.

Nopeuden ja derivaatan yhteys likimain tunnettiin, kiihtyvyyden ja toisen derivaatan yhteys oli oudompi. Nopeus ja kiihtyvyys vektoreina ja paikkavektorin derivaattoina olivat uusia asioita, mutta hyppy ei kuitenkaan ollut kovin vaikea uskottavaksi.

Newtonin laki ja gravitaatiolaki antoivat tämän jälkeen mahdollisuuden kirjoittaa differentiaaliyhtälö, itse asiassa differentiaaliyhtälöryhmä, joka kuvaa kahden partikkelin — planeetan — liikettä keskeisvoimakentässä.  Tämän sitten saattoi ratkaista numeerisesti, kun käytettävissä oli riittävän tehokas ohjelmisto, minulla Mathematica. Loppuhuipentumana muutama animaatio, joista alussa oleva kuva on peräisin.

Aikaa oli käytettävissä 80 minuuttia ja esitys muodoltaan luento. Esitin myös kuulijoille muutamia kysymyksiä ja minulta muutaman kerran kysyttiin jotakin. Miten esitystä sitten jaksettiin seurata ja mitä siitä mahtoi jäädä mieleen?

Esitystä seurattiin varsin kiinnostuneina. Aktiivisia vastaajia ja kysyjiä ei tietenkään ollut monia, mutta se mitä sanottiin, keskittyi täysin oleellisiin asioihin. Arvioisin, että pääpiirteissä pysyttiin mukana. Luento ei ehkä olekaan vanhentunut opetusmuoto, kuten toisinaan väitetään, mutta se on toteutettava tavoitteisiin ja kuulijoille sopivalla tavalla.

Yksityiskohtiin en tietenkään voinut mennä: en todistanut lauseita, en edes esittänyt täsmällisiä määritelmiä, en laskenut laskuja läpi. Sen sijaan kerroin, millaisia käsitteitä on, miten niitä voidaan lähestyä ja ajatella, millaisia tuloksia laskuilla saadaan. Yksityiskohtien oppiminen ei ollut tarkoituskaan, vaan antaa jonkinlainen kokonaiskuva ja sen myötä ehkä motivaatio lähteä tarvittaessa opiskelemaan yksityiskohtia.

On myönnettävä, että tein aika paljon töitä esitystä valmistaessani. Minulla oli valmiit pdf-kalvot auditorioesitystä varten, liitutaulua ei käytössä ollut enkä sitä kaivannutkaan.

Matematiikka nähdään usein yksityiskohtien huolellisena puurtamisena ja niiden perustelemisena. Sinänsä tämä on välttämätöntä eikä sitä ole syytä väheksyä, mutta seurauksena on usein matematiikan hahmottuminen tylsäksi ja näköalojen katoaminen. Matematiikan opettamiseen ja opiskeluun tarvitaan muutakin: kokonaisvaltaisempi — ja epätäsmällisempi — ote sen mahdollisuuksien näyttämiseen.

perjantai 6. toukokuuta 2016

Perspektiivinen rautatie

Terra Cognita julkaisee verkkosivuillaan sunnuntaipähkinöitä.  Pähkinä nro 22 julkaistiin 17.4.2016 ja kyseessä oli oheisen kuvan mukainen perspektiiviongelma: Perspektiivikuvassa suoran rautatien kiskot suuntautuvat pisteeseen $O$. Näkyviin on piirretty kaksi ratapölkkyä, $AB$ ja $CD$. Miten on piirrettävä seuraava ratapölkky, kun ne tietenkin ovat tasavälisiä?

Viikkoa myöhemmin esitettiin ratkaisu, oleellisesti sama kuin alla olevassa kuvassa. Ratkaisun avaimena ovat apupisteet $F_1$ ja $F_2$, joiden avulla voidaan piirtää miten monta ratapölkkyä tahansa.

Mutta miksi juuri tämä on oikea ratkaisu eikä jokin muu menettely, joka myös antaisi ratapölkkyjä tihenevästi?

Taiteilijalla on tietenkin vapautensa piirtää perspektiivikuvia näkemyksensä varassa niin kuin haluaa. Jos kuvan säännönmukaisuuksia kuitenkin halutaan tutkia tarkemmin ja muodostaa perspektiivisääntöjä kuvan piirtämiseen, johdutaan luonteeltaan matemaattiseen — geometriseen — ongelmaan. Aluksi on määriteltävä, mitä oikeastaan tarkoitamme puhuessamme perspektiivikuvasta.

Luonnollisinta on ajatella perspektiivikuvan olevan keskusprojektiolla tasopinnalle muodostettu kohteen kuva. Tällöin kolmiulotteisessa avaruudessa on kiinnitettynä piste, projektiokeskus, ja taso, kuvataso. Projektiokeskus ei saa olla kuvatasossa. Kohteessa olevan pisteen kuva löydetään asettamalla suora pisteen ja projektiokeskuksen kautta ja etsimällä tämän leikkauspiste kuvatason kanssa.
Keskusprojektion valitseminen perustuu siihen, että optinen systeemi, kuten ihmissilmä tai kamera, muodostaa kuvan likimain tällä periaatteella.

Perspektiivin geometrinen tutkiminen alkoi varhaisrenessassin aikana 1400-luvulla, jolloin useat taiteilijat kiinnostuivat aiheesta ja seurauksena oli lukuisia maalauksia, joissa perspektiivin ominaisuuksia tutkittiin. Tyypillinen esimerkki on Piero della Francescan työnä pidetty Citta ideale (Ihanteellinen kaupunki) noin vuodelta 1470.  Vuonna 1525 ilmestyi Albrecht Dürerin teos Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen, jossa tutkittiin kuvien muodostamista geometrian pohjalta.  Teoksesta on peräisin tunnettu luutun perspektiivikuvan muodostamista esittävä kuva.

Keskeisimmän perspektiivikuvia koskevan geometrisen tuloksen mukaan kohteen yhdensuuntaisilla suorilla on kuvassa yhteinen pakopiste. Tätä voidaan ajatella suorilla äärettömän kaukana olevan pisteen kuvana, ts. jos suoralla oleva piste etääntyy äärettömän kauas, sen kuva lähestyyy pakopistettä. Tämän mukaisesti rautatien kiskot suuntautuvat tehtävässä pisteeseen $O$.

Ratkaisu perustuu samaan tulokseen. Ratapölkkyjen väliin jäävien yhtenevien suorakulmioiden lävistäjät nimittäin muodostavat kaksi keskenään yhdensuuntaista suoraparvea, jolloin kummallakin on oma pakopisteensä, $F_1$ ja $F_2$. Nämä sijaitsevat horisontiksi kutsutulla suoralla $h$, joka sisältää kaikkien vaakasuorien suoraparvien pakopisteet. Kun $F_1$ ja $F_2$ saadaan määritetyiksi suorien $AD$ ja $BC$ avulla, voidaan piirtää lisää lävistäjäsuorien kuvia ja näiden avulla ratapölkkyjen kuvia.

Jos lukija on lähemmin kiinnostunut perspektiivikuvien geometriasta tai yleisemmin kuvien piirtämisen geometrisista perusteista, suosittelen kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (esim. https://www.booky.fi/tuote/simo_kivela/perspektiivikuvan_geometriset_perusteet/9789525491494).

-------------

Sain Facebookissa kysymyksen:

Jotain on minulta päässyt unohtumaan: miten ratapölkyn A-B suunta määräytyy? Yksi katoamispiste lisää, mutta minne? Niin että näyttää hyvältä?

Ja vastaukseni:

Suunta oli annettu Terra Cognitan tehtävänasettelussa, $AB$ ja $CD$ vaakasuoria. Näin ei tarvitse olla. Ratapölkyt ovat tietenkin yhdensuuntaisia, joten niillä on yhteinen pakopiste Oheisen kuvan tilannekin on siten mahdollinen, ja konstruktio toimii siinäkin. Jos ratapölkyt ovat yhdensuuntaisia, niiden pakopiste on äärettömän kaukana oleva yhdensuuntaisten suorien leikkauspiste. Projektiivinen geometrikko tykkää tällaisista. 

 

tiistai 12. huhtikuuta 2016

Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei, osa 2

Kollega Pekka Alestalo esitti kommentoitavaksi Mathematicalla  lasketun esimerkin, jossa tulos on virheellinen: Integraalin
\[
\int_0^{2\pi} \sqrt{1 - \cos(nx)}\,dx
\]
arvoksi saadaan
\[
\frac{2\sqrt{2}}{n} - \frac{2\sqrt{1 - \cos(2n\pi)}\cot(n\pi)}{n}.
\]
Jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, osoittajaan syntyy $0 \cdot \infty$. Raja-arvotarkastelulla saadaan joko $0$ tai $4\sqrt{2}/p$ riippuen siitä, kummalta puolelta $n$ lähestyy kokonaislukuarvoa $p$.

Tuntuu omituiselta, sillä kyseessä on ei-negatiivisen funktion integraali, eikä kokonaislukuparametrissa $n$ pitäisi olla mitään kummallista.  Integraali on mahdollista laskea trigonometrisen kaavan $1 - \cos(nx) = 2\sin^2(nx/2)$ avulla, ja tulokseksi saadaan $4\sqrt{2}$ kokonaislukuparametrin $n$ arvosta riippumatta. Tämä saadaan myös Mathematican avulla antamalla $n$:lle riittävän pieni numeerinen arvo. Liian suuri numeerinen arvo saattaa antaa väärän tuloksen (esimerkiksi $n = 10\,000$).  Numeerinen integrointi antaa tulokseen $4\sqrt{2}$ sopivat likiarvot.

Esimerkki osoittaa, että symboliseen laskentaan on suhtauduttava varovaisesti.  Tulosten järkevyys on vähänkin epäilyttävässä tapauksessa varmistettava esimerkiksi numeerisella laskennalla tai graafisilla tarkasteluilla.  Symboliikka on vaikeata eikä siihen pidä sokeasti luottaa.

Miksi laskenta sitten menee väärin?

Kaupallisen ohjelmiston koodit eivät ole julkisia eikä niistä todennäköisesti olisi kovin helppoa löytääkään syytä. Yksinkertaisempi esimerkki sen sijaan vihjaa mahdolliseen ongelmakohtaan.

Integraalin
\[
\int_0^{2\pi} \frac{1}{2 + \cos(x)}\,dx
\]
arvoksi saadaan $2\pi/\sqrt{3}$ Mathematican komennolla
Integrate[1/(2 + Cos[x]),{x,0,2 Pi}].
Tämä sopii myös yhteen numeerisen integroinnin kanssa, jolloin komento on
NIntegrate[1/(2 + Cos[x]),{x,0,2 Pi}].

Integraalifunktio on (komento Integrate[1/(2 + Cos[x]),x])
\[
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right).
\]
Kummankin rajan sijoittaminen tähän antaa tulokseksi $0$. Tämän mukaan intgeraalin arvo olisi siis $0$, mikä ilmiselvästi on virheellinen tulos.

Virhe näkyy piirtämällä integraalifunktion kuvaaja:



Funktiolla on hyppyepäjatkuvuus kohdassa $x = \pi$ eikä se siis kelpaakaan sellaisenaan integraalifunktioksi, jonka tulee olla jatkuva. On lisättävä integroimisvakio, erilainen epäjatkuvuuskohdan eri puolilla, jotta saadaan jatkuva funktio.

Alun esimerkissä on samanlainen ongelma. Vaikuttaa siltä, että Mathematican integrointialgoritmi toimii, jos epäjatkuvuuskohdat eivät riipu symbolista eikä niitä ei ole liian paljon.

--------------------
Jatkoa:

Kokeilin esimerkkejä myös TI-Nspire-ohjelmistolla (versio 3.9). Funktion \[ \frac{1}{2+\cos(x)} \] integraalifunktioksi saadaan \[ \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right) - \frac{\text{mod}(x-\pi,2\pi) - x}{\sqrt{3}} \] missä jatkuvuus on hoidettu aivan oikein, mutta hintana tietenkin on mod-funktion ilmestyminen lausekkeeseen. Integraalin \[ \int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(nx)}\,dx \] laskeminen ei onnistunut, integraalifunktiota ei myöskään löytynyt, ts. vastaukseksi tuli integraali muuttumattomana. Numeerisella $n$:n arvolla vastaukseksi tuli likiarvo.

maanantai 14. maaliskuuta 2016

Yhtälön suruton ratkaiseminen manipuloimalla

Facebook-postauksessa matematiikan opiskelija ihmetteli seuraavaa yhtälön ratkaisemista:
\begin{align*}
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln((x+1)(x-1)) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln(x^2-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&x^2-1 = x^3+x^2 \\
&x^3 = -1 \\
&x = -1
\end{align*}
Miten tähän pitäisi suhtautua, kun yhtälöllä ei pitäisi olla ratkaisua?

Päättely on sinänsä aivan moitteeton. Jokainen rivi seuraa edellisestä, joten väliin voitaisiin kaikkialle kirjoittaa oikealle osoittavat implikaationuolet. Kuitenkaan $x = -1$ ei ole yhtälön ratkaisu.

Ongelma on ensimmäisessä rivissä: Jotta manipulointia voidaan harrastaa, täytyy olla olemassa luku $x$, jota koskevia lausekkeita manipuloidaan. Tuntea tätä ei tarvitse, mutta olemassa sen täytyy olla, ts. heti alussa on tehty oletus, että yhtälöllä on ainakin jokin ratkaisu. Päättely siis osoittaa, että jos ratkaisu on olemassa, niin se on $x = -1$. Jos ratkaisua ei ole olemassa, ensimmäinen rivi on epätosi eikä sen pohjalle rakentuvan tuloksen totuusarvosta tiedetä mitään.

On siis tarkistettava, toteuttaako saatu arvo alkuperäisen yhtälön.  Eli ovatko implikaatiot käännettävissä osoittamaan vasemmalle, ts.  syntyykö itse asiassa ekvivalenssiketju.

Tilanteen hahmottamiseksi voi tietenkin tutkia myös logaritmifunktion määrittelyalueita, mutta välttämätöntä tämä ei ole yhtälöä ratkaistaessa (tai sitä yritettäessä).

Yhtälöä voi manipuloida myös toisin. (Matematiikkahan ei ole siinä mielessä yksikäsitteistä, että jokaisella tehtävällä olisi vain yksi hyväksyttävä ratkaisutapa, vaikka monet taitavat näin kuvitella.)  Siis toisin:
\begin{align*}
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^2 (x+1)) \\
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^2) + \ln(x+1) \\
&\ln(x-1) = \ln(x^2) \\
&x-1 = x^2
\end{align*}

Tässä vaiheessa voidaan tietenkin todeta, että saadulla toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua eikä siis alkuperäisellä yhtälölläkään. Mutta entä jos kelpuutettaisiin myös kompleksiset ratkaisut? Logaritmihan voidaan määritellä myös negatiivisille luvuille, jopa kompleksiluvuille.

Toisen asteen yhtälön kompleksiset ratkaisut ovat $x_1 = \frac{1}{2}(1 + i\sqrt{3})$ ja $x_2 = \frac{1}{2}(1 - i\sqrt{3})$.  Sijoittamalla nämä alkuperäiseen yhtälöön todetaan, että ne toteuttavat myös sen. Tämä tosin edellyttää kykyä laskea kompleksilukujen logaritmeja, mutta monet symboliset ohjelmat, jopa CAS-laskimet osaavat. Teoria puolestaan löytyy vaikka verkkodokumentista http://matta.hut.fi/matta/kompleksiluvut/cluvut.pdf.

Mutta miksi sitten ensimmäinen manipulointi ei johda näihin ratkaisuihin?  Jos kerran yhtälöllä on ratkaisu olemassa, niin päättelyn pitäisi antaa se. Kyllä se antaakin. Yhtälöllä $x^3 = -1$ on nimittäin kompleksialueella kolme ratkaisua: $x = x_1$ tai $x = x_2$ tai $x = -1$; edellä mainitut $x_1$ ja $x_2$ siis. Loogisella päättelyllä tämä seuraa alkuperäisestä yhtälöstä. 'tai'-lausuma on tosi, jos jokin sen vaihtoehdoista on, joten kaikkien vaihtoehtojen ei tarvitse olla yhtälön ratkaisuja, mutta ratkaisut ovat näiden joukossa.

Tällöinkin siis on tarkistettava, mitkä vaihtoehdot toteuttavat yhtälön.  Kompleksialueella ainoastaan $-1$ ei kelpaa, sillä $\ln(0)$ ei ole määritelty. Tai miten asiat nyt ajatellaankin: laskentaohjelma Mathematicalle tämäkin kelpaa ratkaisuksi, mutta sillä onkin hieman laajennettu lukualue: $\ln(0) = -\infty$. Eivät ne määritelytkään aina ole kiveen hakattuja.

sunnuntai 28. helmikuuta 2016

Logaritmifunktio

Edellisessä tekstissäni tarjoilin lukijalle tunnistettavaksi oheisessa kuvassa esiintyvän kompleksimuuttujan funktion.  Pinta esittää funktion itseisarvon kuvaajaa $|f(z)|$ ja sen väritys määräytyy funktion napakulman $\arg(f(z))$ mukaan.  Tässä siis $z = x + iy$, jolloin sekä itseisarvo että napakulma ovat kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita.

Pinnassa on positiiviseen äärettömyyteen menevä piikki origon kohdalla. Kohdassa $(1,0)$ on kuvaajan alin piste korkeudessa $z = 0$; kyseessä on ilmeisestikin itseisarvon ainoa nollakohta.  Käyttäytyminen positiivisella x-akselilla saattaisi siis viitata logaritmiin, koska kyseessä kuitenkin on tunnettu alkeisfunktio.

x-akselilla alueessa $x > 1$ väri on sinivihreä (syaani), mikä tarkoittaa napakulmaa $0$ eli positiivisia arvoja edellisen juttuni väriympyrän mukaan. Välillä $0 < x < 1$ väri on punainen, jolloin napakulma on $\pi$ ja funktion arvot siis negatiivisia. Tämäkin sopii logaritmiin.

Täydellisemmän kuvan saamiseksi tarvitaan tietoa kompleksisesta logaritmista:
\[
\log(z) = \log(|z|) + i \arg(z).
\]
Itseisarvo on
\[
|\log(z)| = \sqrt{\log(|z|)^2 + \arg(z)^2}.
\]
Päähaaralla argumentti (napakulma) valitaan väliltä $]-\pi,\pi]$.

Negatiivisilla x-arvoilla funktion itseisarvo käyttäytyisi muutoin samaan tapaan kuin positiivisella puolella, mutta juuren alla on lisätermi $\arg(z)^2$. Akselilla tämä on $\pi^2$, jolloin nollakohtaa ei ole kuten positiivisella puolella. Lähestytäänpä negatiivista x-akselia kummalta puolelta tahansa (y-akselin suunnassa), lisätermi kasvaa kohden arvoa $\pi^2$ ja kuvaajaan syntyy harjanne.

Pohdiskeluja voisi jatkaa, mutta tämä riittänee tekemään uskottavaksi, että kyseessä on kompleksinen logaritmi.

Varmemmaksi vakuudeksi lukija voisi tietenkin yrittää itse piirtää ainakin funktion itseisarvon kuvaajan. Mathematican ja Maplen mahdollisuudet riittävät tähän ongelmitta. Sagekin kelvannee. Texasin CAS-laskinta vastaava tietokoneohjelma näyttää tuntevan kompleksisen logaritmin, mutta kolmiulotteista kuvaajaa en onnistunut piirtämään ainakaan minulla olevalla hieman vanhalla versiolla. GeoGebralla syntyy kohtuullisen tasoinen kuva.