maanantai 9. lokakuuta 2017

Kolmion korkeusjanat kreikkalaisittain ja mesopotamialaisittain

Eräs kollegani luonnehti kerran matemaattisten ongelmien lähestymistapoja kreikkalaisiksi tai mesopotamialaisiksi. Kolmion korkeusjanat tunnetusti leikkaavat samassa pisteessä, ja kreikkalainen lähestymistapa tämän todistamiseen on se, jota perinteisessä koulugeometriassa on harrastettu: Kolmion $ABC$ ympäri piirretään toinen kolmio $DEF$ alla olevan kuvan mukaisesti. Tällöin alkuperäisen kolmion korkeusjanoista tulee isomman kolmion sivujen keskinormaalit. Aiemmin on osoitettu, että nämä leikkaavat samassa pisteessä, ja tämä siis on myös korkeusjanojen leikkauspiste. Perinteistä euklidista geometriaa.



Mesopotamialainen lähestymistapa on laskennallinen. Vektorialgebra on tällöin käyttökelpoinen työkalu, vaikka toki vektorialgebran kutsuminen mesopotamialaiseksi onkin melkoinen anakronismi. Kolmion kärkipisteiden $A$, $B$ ja $C$ paikkavektorit olkoot $\vec{a}$, $\vec{b}$ ja $\vec{c}$. Pisteistä $A$ ja $B$ alkavien korkeusjanojen leikkauspisteen (jollainen varmasti on olemassa) $P$ paikkavektori olkoon $\vec{p}$.

Koska tietyn kärjen kautta kulkeva korkeusjana ja vastakkainen sivu ovat kohtisuorat, on
\begin{align*} (\vec{a} - \vec{p})\cdot(\vec{b} - \vec{c}) &= 0, \\ (\vec{b} - \vec{p})\cdot(\vec{c} - \vec{a}) &= 0. \end{align*}
Laskemalla yhtälöt yhteen ja sieventämällä päädytään yhtälöön
\[ (\vec{c} - \vec{p})\cdot(\vec{a} - \vec{b}) = 0, \]
mikä tarkoittaa, että piste $P$ on myös kärjestä $C$ alkavalla korkeusjanalla. Korkeusjanojen leikkaaminen samassa pisteessä on tullut todistetuksi.

Laskennallinen mesopotamialainen menettely antaa tavan johtaa lausekkeet pisteen $P$ koordinaateille. Jos $A = (x_1,y_1)$, $B = (x_2,y_2)$ ja $C = (x_3,y_3)$, muodostavat kaksi ensimmäistä yhtälöä lineaarisen yhtälöryhmän pisteen $P = (x_4,y_4)$ koordinaateille. Ryhmän ratkaiseminen käsin laskemalla on työlästä ja virhealtista, mutta tällaisissa tilanteissa symboliset laskentaohjelmat ovat vahvoilla:


Laskentaohjelmaa voidaan käyttää myös todistamisessa yksinkertaisella tavalla: sievennetään väite, kun oletetaan määrittelyehtojen voimassaolo. Ohjelma tekee raa'an työn, on vain kerrottava, mitä halutaan:


Jos tarkoituksena on vain tuloksen todistaminen, niin tarvitaanko pisteiden koordinaatteja lainkaan? Eikö voitaisi sieventää vektorimuotoinen väite vektorimuotoisten määrittelyehtojen ollessa voimassa? Periaatteessa voitaisiin. Kyse on siitä, millaista algebraa laskentaohjelma osaa, ts. mitä se on ohjelmoitu tekemään. Hyvistä ohjelmista työkalut usein löytyvät, mutta ensin on kerrottava, millaista algebraa halutaan. Oletuksena on yleensä reaali- tai kompleksilukualgebra. Jos halutaan muuta, esimerkiksi vektorialgebraa, tämä on ilmoitettava.

maanantai 25. syyskuuta 2017

Kolmion kulmien summa digitaaliaikana

Kolmion kulmien summa on tunnetusti 180 astetta tai radiaaneina ilmaistuna $\pi$. Perinteinen euklidisen geometrian todistus asialle perustuu alla olevaan kuvioon ja edellyttää paralleeliaksiooman voimassaoloa. Muutoinhan kyseessä ei olisikaan euklidinen geometria.

Digitaaliaika tai tarkemmin sanottuna laskentaohjelmat antavat mahdollisuuden muunkinlaiseen lähestymistapaan.

Kolmion sivut olkoot $a$, $b$ ja $c$. Kosinilause antaa tällöin kolmion kulmien suuruudet:
\begin{align*}
\alpha &= \arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\
\beta  &= \arccos\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\
\gamma &= \arccos\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\
\end{align*}

Voitaisiinko näiden summa sieventää symbolisen laskennan ohjelmalla siten, että tulokseksi tulisi $\pi$?

Tehtävä on aika haastava enkä usko, että monikaan symbolinen ohjelma selviää siitä. Olen kokeillut vain Mathematicaa, joka ei siitä suoraan selviä. Periaatteessa kyse on siitä, että mikään symbolinen ohjelma tuskin hallitsee kaikkia menettelyjä, joita alykäs (?) ihminen saattaa tulla ajatelleeksi. Mutta symbolinen ohjelma on tehokas työkalu, jolla päästään pitkälle, kun sitä hieman autetaan.

Ei lasketakaan kulmien summaa, vaan summan kosinia. Sievennettävä lauseke on tällöin periaatteessa muotoa
\[
\cos(\arccos(\dots) + \arccos(\dots) + \arccos(\dots)).
\]
Voisi olla luonnollista käyttää kosinin yhteenlaskukaavaa, aluksi ensimmäisen termin ja kahden jälkimmäisen muodostamaan summaan, sitten uudelleen kahden jälkimmäisen muodostaman summan purkamiseen. Tähän tarvitaan lisäksi sinin yhteenlaskukaavaa.

Onneksi hyvissä ohjelmissa on mahdollisuus ohjata sieventämistä käskemällä käyttämään haluttuja kaavoja tai menettelyjä.

Tuloksessa on muotoa $\sin(\arccos(\dots))$ ja $\cos(\arccos(\dots))$ olevia termejä, joissa trigonometriset funktiot ja arcusfunktiot kumoutuvat. Jäljelle jää algebrallinen lauseke muuttujina $a$, $b$ ja $c$. Tällaisten sieventämisessä symboliset ohjelmat ovat yleensä vahvoja, ja tulokseksi saadaan $-1$, siis sivujen pituuksista riippumaton vakio.

Mutta tällöin ollaan perillä: jos kulman kosini on $-1$, niin kulma on $\pi$. Jaksoja vaille tosin, mutta muut mahdollisuudet eivät tule kyseeseen.

Joitakin kysymyksiä herää: Onko tämä pätevä todistus? Jos ei, niin miksi ei? Missä kohden tarvitaan paralleeliaksioomaa? Epäeuklidisessa geometriassahan tulos ei ole $\pi$. Eikö lasku edellytä, että kyseessä todella on kolmio? Kolmiossahan on aina kahden sivun summa suurempi ja erotus pienempi kuin kolmas sivu. Mitä tapahtuu, jos $a$, $b$ ja $c$ eivät täytä tätä ehtoa?

Jätän lukijalle pohdittavaksi. Ja kokeiltavaksi. Myös matematiikka voi olla empiiristä.

Esimerkki osoittaa, että symboliset ohjelmat eivät ole mustia laatikoita, jotka tekevät käyttäjän matemaattiset taidot tarpeettomiksi.  Sieventämisohjeiden antaminen ohjelmalle tuskin onnistuu, ellei käyttäjällä ole näkemystä.

keskiviikko 16. elokuuta 2017

Kävin kirjakaupassa

En ostanut kuvan kirjoja eikä niitä kaupassa ollutkaan. Ovat omasta hyllystäni.

Etsiydyin kirjakauppaan. Sehän ei enää hienossa (in spe) Espoon Tapiolassa sijaitse katutason kulkureittien varrella vaan kauppakeskuksen syövereissä.  Poikkeaminen ohi kulkiessa ei ole helppoa.

Tapani mukaan katsoin muun ohella, mitä matematiikasta ja luonnontieteistä on tarjolla. Ei juuri mitään. Tähtitiedettä on, kiitos Ursan, joka on jo pitkään popularisoinut alaansa erinomaisesti. Matematiikasta on vain koulukirjoja. Silmäilin niitäkin. Aika tylsän kuvan matematiikasta antavat. Kuka voisi kiinnostua, jos henki on 'tee näin, niin ylioppilastutkintolautakunta antaa pisteitä'. Voiko edes lukiolainen kiinnostua — aidosti?

Vertailu Ursaan ei tietysti ole reilu. Tähtitiedehän ei — onneksi — ole kouluaine, jolloin siitä kiinnostutaan aidosti ja kirjat suunnataan harrastajille. Matematiikkaa rasittaa sen asema tärkeäksi julistettuna kouluaineena, jolloin sitä ei muusta näkökulmasta herkästi nähdä. Ehkä silti voisi yrittää ja pyrkiä julkaisemaan kirjoja harrastajille lukion kurssijako ja ylioppilaskoe unohtaen.

Verkkolehti Solmu on aikojen kuluessa julkaissut melkoisen määrän matematiikkaa käsitteleviä artikkeleita. Olisiko aika koota näistä kirja 'Solmun parhaat'? Verkossa olevat artikkelit ovat jollakin tavoin hajallaan eikä niitä lueta samalla tavoin kuin kirjaa puhumattakaan siitä, että annettaisiin lahjaksi.

Toimitustyötä kirjan koostaminen vaatisi. Matemaatikko herkästi kirjoittaa aika tiivistä tekstiä ja on tyytyväinen, kun asia on tullut täsmällisesi sanotuksi. Tekstin ymmärtäminen jää lukijan vastuulle.  Kirjan pitäisi olla ihmisystävällisempi senkin uhalla, että täsmällisyyteen jää toivomisen varaa. Siinä on haastetta toimittajalle.  Ja matemaatikkopiireille: minun on vaikeata uskoa, että toimittamisesta voisi selvitä ilman matemaatikkotaustaa.

Kirjojen saaminen myyntiin ns. kivijalkakirjakauppoihin voi olla vaikeata, vaikka Ursa onkin aika hyvin onnistunut. Ehkä maailma on muuttunut siten, että kirjoja pitää oppia etsimään verkkokirjakaupoista.

Jos kielen ei tarvitse olla suomi, löytyy verkkokirjakaupoista, vaikka Amazonilta runsaasti myös matemaattista kirjallisuutta. Ongelmana on usein kiinnostavan kirjan löytäminen runsaasta tarjonnasta. Esittelyjen ja arvostelujen julkaiseminen olisi avuksi, vaikka monet verkkokirjakaupat tarjoavatkin mahdollisuuden selata ainakin joitakin kirjan sivuja.  Esittelyjä vain pitäisi kirjoittaa ja julkaista. Voisiko Solmulla olla kumuloituva kirjallisuuspalsta, josta esittelyt olisivat helposti löydettävissä?

Kirja tarvitsee kustantajan. Omakustantajakin on kustantaja, mutta asiansa jo valmiiksi osaava kustantaja olisi tietenkin parempi. En yritä listata mahdollisuuksia, mutta kiinnostuneet voivat ilmoittautua.

sunnuntai 30. heinäkuuta 2017

How to slay dragons


Lueskelin American Mathematical Societyn Notices-lehden kesä-heinäkuun numeroa, jossa on myös matematiikan opettamista koskeva artikkeli What Is Inquire-Based Learning? (http://www.ams.org/journals/notices/201706/rnoti-p570.pdf).

Matematiikan opettamisen ongelmat tuntuvat olevan paljolti samanlaisia kaikkialla maailmassa, mutta yhden maan ratkaisuja ei kuitenkaan yleensä voi sellaisinaan siirtää toiseen maahan. Jotakin niistä kuitenkin voi oppia ja tuulettaa niiden avulla omia ajatuksiaan. Artikkelissa viitataan muun ohella sivustoon http://math.colorado.edu/activecalc, josta löytyy esimerkiksi funktioiden kuvaajia käsittelevä tehtävä http://math.arizona.edu/~calc/m124/Equations.pdf. Annettuna on neljä melko yksinkertaista funktiota ja ohjeistuksena 'Use your graphing calculator to graph each of the following functions. Use your mathematical skills to determine the real characteristics of the function. Does your calculator show these features?  Include detailed sketches.' Teknologian käyttöä siis.

Esimerkkifunktioista ei kuitenkaan selvitä antamalla vain piirtokomento. Laskin ei välttämättä näytä kaikkia kuvaajan oleellisia piirteitä, joten käyttäjän tulee suhtautua tulokseen kriittisesti ja tutkia asiaa lähemmin käyttämällä laskintaan työvälineenä ja yhdistämällä tähän matemaattiset tietonsa. Laskinta ei siis voikaan käyttää mustana laatikkona, joka antaa totuuden, vaan luovuutta vaativana työvälineenä.  Meillä saattaisi Suomessa olla opittavaa.

Selasin myös Solmussa ilmestynyttä Markku Halmetojan kokoelmaa Sata lukion matematiikan tehtävää (http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/sata.pdf). Ansiokas kokoelma, jossa esipuheen mukaan 'kantavana periaatteena on ollut välineistä riippumattoman matematiikan esilläpito'. Joukossa on kuitenkin monia tehtäviä, joissa mahdollisesti hieman muunnettuina voitaisiin hyödyntää teknologiaa järkevällä tavalla. Esimerkkinä tehtävä 53, jossa pyydetään määrittämään funktion $f(x) = e^x + e^{-x} - x^2$ ääriarvot. Lisätään tähän kerroin, $f(x) = e^x + e^{-x} - a x^2$, ja pyydetään tarkastelemaan ääriarvoja, kun $0.8 < a < 1.2$.  Lähtökohtana voi piirtää kuvaajia, laskea ääriarvokohtia numeerisesti sopivilla $a$:n arvoilla ja tapaus $a = 1$ vaatii edelleen saman huomion kuin ennenkin.

Tällä tavoin painottuisi matematiikan käyttö työvälineenä, eikä kyse olisi sen ainoan oikean ratkaisun etsimisestä, jonka opettaja tietää. Matematiikka voisi alkaa näyttää hyödylliseltä myös niille, joiden ensisijainen mielenkiinto ei ole matematiikassa sinänsä.

En oikein voi mitään sille, että Halmetojan kokoelma tuo mieleeni 70-luvulla talteen ottamani kirjamainoksen, joka on tämän jutun alkukuvana. Totuuden siemenhän tässä on.  Eikä Halmetoja (eivätkä monet muutkaan) ole mitenkään huonossa seurassa: Dschuang Dsi (Zhuangzi) oli neljännellä vuosisadalla eaa. elänyt taolainen filosofi eikä René Thomkaan (1923-2002) mitätön matemaatikko ole. En ole mainokseen kirjoittanut sen lähdettä, mutta internetin ihmemaasta se löytyy hakusanoilla 'dschuang dsi rene thom'. Kuva (ja runo) on Th. Bröckerin ja L. Landerin kirjassa Differential Germs and Catastrophes (Cambridge University Press, 1975) sisällysluettelosivun kääntöpuolella.

keskiviikko 28. kesäkuuta 2017

Talon nurkka ja GPS


Merkittiin kesämökillä maastoon suunnitellun uuden talon paikkaa.  Mittaukset narulla, jossa oli merkit kolmen metrin välein. Suorakaide saatiin merkityksi, lävistäjämitatkin olivat yhtä suuret.

Lupa-anomukseen tarvitaan karttapiirros, joten suorakulmion kärjet täytyy viedä kartalle. Yksinkertaisinta on tietenkin mitata etäisyyksiä tunnetuista karttapisteistä, mutta mieleen juolahti kokeilla, miten pitkälle modernilla tekniikalla ja matematiikalla pääsee.

GPS-kännykkäsovellus lupaa sijaintipisteen maantieteelliset koordinaatit — pituuden ja leveyden — parhaimmillaan kolmen metrin tarkkuudella. Ei oikein riittävältä tunnu, mutta ainahan voi yrittää. Mitattiin siis GPS:llä talon neljä nurkkaa, talletettiin arvot kännykän muistiin ja lähetettiin sähköpostilla kotitietokoneeseen laskemista varten. Työvälineenä oli käytettävissä laskentaohjelma Mathematica.


Maantieteellisten koordinaattien avulla ei voi suoraan tutkia kuvion suorakulmaisuutta, koska leveysasteen pituus ja pituusasteen pituus eivät ole yhtä suuria. Pallokoordinaattimuunnoksella (missä $r$ on maapallon säde, $\vartheta$ leveysaste ja $\varphi$ pituusaste)
\[ \begin{aligned}
x &= r\cos\vartheta\cos\varphi\ ,\\
y &= r\cos\vartheta\sin\varphi\ ,\\
z &= r\sin\vartheta\
\end{aligned} \]
saadaan kuitenkin vastaavat suorakulmaiset avaruuskoordinaatit, jolloin tiedetään avaruusnelikulmion kärkien koordinaatit. Nelikulmio sijaitsee likimain tasossa, kyseisen mökkitontin horisonttitasossa. Sen sivujen pituuksia ja kulmien suuruuksia laskemalla voi tutkia, onko kyseessä suorakulmio.

Ei ollut, mutta muutaman metrin tarkkuudella oikeat sivujen pituudet kyllä saatiin. Enempää ei toki voinut toivoakaan, koska jo lähtöarvoissa oli epätarkkuutta muutaman metrin verran.

Avaruuskoordinaatit eivät sellaisinaan auta mökin paikan piirtämistä kartalle, vaan on laskettava karttakoordinaatit jossakin sopivassa järjestelmässä. Tämä vaatii jo enemmän kartoittajan tietoja, mutta Maanmittauslaitos tarjoaa työkalut koordinaatistomuunnoksiin: http://coordtrans.fgi.fi/transform.jsp. Sähköpostilla lähetetyt koordinaatit saattoi syöttää sovellukselle suoraan tiedostosta (kuten Mathematicallekin), ja tuloksena olevat karttakoordinaatitkin saatiin suoraan tekstitiedostoon. Digitalisaatio alkaa toimia.

Mökin pohjan olisi siis voinut piirtää karttaan, jos kännykkä-GPS olisi antanut tarkemmat arvot. En tiedä, miten suureen tarkkuuteen nykyään on mahdollista GPS:llä päästä. Joko kiväärin luodin voi ohjata silmien väliin? Sotilaalliset tavoitteethan tuottavat innovaatioita ihmiskunnalle.

Mitä tästä kokeilusta tulisi oppia matematiikan opettamisen kannalta?  Ainakin seuraavaa:
  • Avaruusgeometria on asioiden hahmottamisen kannalta tärkeää.
  • Pallokoordinaatit ja niiden muuntaminen ei ole lukiolaiselle mitenkään ylivoimaista. Avaruuskuvioita täytyy osata hahmottaa, trigonometrisia funktioita käyttää. Tällöin jo aukeaakin tie moniin reaalimaailman ongelmiin.
  • Karttakoordinaattien ymmärtäminen kuuluu yleissivistykseen. Tiettyä henkistä joustavuutta tarvitaan: Pohjoiskoordinaatti esitetään ensin, sitten itäkoordinaatti. Edellinen kasvaa ylöspäin, jälkimmäinen oikealle.  Siis toisinpäin kuin $x$ ja $y$. (Tein kerran ylioppilastehtävän, jossa piti laskea jotakin sijaintia Helsingin edustalla oikeilla karttakoordinaateilla. Sain opettajakunnalta kritiikkiä siitä, että koordinaatit esitettiin päinvastaisessa järjestyksessä kuin tutut $x$ ja $y$. Opimme ylioppilaskoetta, emme elämää varten.)
  • Laskentaohjelma on hyvä työkalu. Edellä kuvattujen asioiden laskeminen käsin olisi tylsää ja virhealtista. Oleellista on hahmottaa kokonaisuus ja mitä ollaan tekemässä. Sen jälkeen kone tekee työt. Numeeriset ominaisuudet ovat lukiotasolla tärkeämpiä kuin symboliset. Digitalisaatio muuttaa myös koulua. Tai ainakin sen pitäisi, järkevään suuntaan.

sunnuntai 18. kesäkuuta 2017

Matematiikan vaellusretket


Julkaisin viime helmikuussa matematiikkaa popularisoivan kirjan Vaellusretkiä matematiikkaan, omakustanne, 210 sivua, 25 toisistaan riippumatonta artikkelia. Saatavana verkkokirjakaupoista tai suoraan minulta. Tarkempia tietoja on verkkosivulla http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html.

Painos oli 150 kappaletta, joista tällä hetkellä on jäljellä neljä.  Lisäkappaleita on tilattu 50. Tiedossani on kolme arviointia:

Matti Lehtinen verkkolehti Solmussa, http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/2/vaellusretkia.pdf

Aaro Salosensaari blogissaan, https://aqsalose.kapsi.fi/blog/book-vaellusretkia.html

Petri Laarne blogissaan, http://www.nollakohta.fi/2017/05/lukuvinkki-vaellusretkia-matematiikkaan.html

Tekijälle on aina miellyttävää, kun joku on paneutunut tuotokseen ja innostuu kommentoimaan. Mainituissa arvioineissa nostetaan esiin näkökohtia, jotka ansainnevat enemmänkin pohdiskelua. Omina kommentteinani seuraavaa:

Kirjaani luonnehditaan hieman vaativaksi ja harvinaisuudeksi suomalaisessa ympäristössä. Ehkä näin on, mutta vastaavanlaisia artikkeleita kyllä löytyy ainakin verkkolehti Solmusta (http://matematiikkalehtisolmu.fi/). Tässä on vastakkain perinteinen kirja ja digimaailma. Miten nykyään pitäisi julkaista?

Verkkomateriaali on helposti saavutettavissa ainakin, jos se ei ole maksumuurin takana. Usein se kuitenkin muodostaa aika sekavan kokoelman, jota voi silmäillä, mutta jonka jäsentäminen on vaikeata. Kirjaan kuuluu jotenkin luonnostaan selkeämpi jäsennys. Kirja on enemmän olemassa: Sen voi antaa lahjaksi vaikka tuoreelle ylioppilaalle. Nettiosoitteen antaminen ei oikein tunnu samalta sen enempää saajalle kuin antajallekaan.

Kirjasta joutuu maksamaan, nettimateriaalin ilmaisuuteen on totuttu. Vaikka tekijä tietenkin onkin palkkansa ansainnut, ei kummastakaan vaihtoehdosta korvausta työlleen saa. Hyvä kun saa kirjan painolaskun kuitatuksi.

Kun kirjassa on 25 artikkelia, on selvää, että se ei voi antaa minkäänlaista yleisempää kuvaa 'mistä matematiikassa on kysymys ylioppilaskirjoitusten vaatimusten tuolla puolen' (Aaro Salosensaaren erinomainen formulointi).  Yhden henkilön projektiksi tällaisen kuvan antaminen olisi aika vaativa.  Voisikin kysyä, löytyisikö useita henkilöitä puhaltamaan yhteiseen hiileen, kukin oman asiantuntemuksensa mukaan.

Kirjani kunkin artikkelin lopussa on muun ohella verkkoviitteitä jatkolukemiseen.  Näiden osoitteet saattavat olla pitkiäkin, eikä niiden naputteleminen selaimeen kovin hauskaa ole. Myönnän kritiikin aiheelliseksi ja tarjoan apuvälineen: pdf-tiedosto http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmatViitteet.pdf sisältää artikkelien loppuhuomautukset aktiivisine linkkeineen.

Kommentoijia kiitän.

sunnuntai 28. toukokuuta 2017

Suuteleva ympyrä

Ellipsi (sininen) ja sen kaarevuuskeskipisteiden ura (punainen).
Lisäksi yksi suuteleva ympyrä.
Jos kahden käyrällä olevan pisteen kautta asetetaan suora — käyrän sekantti — ja pisteiden annetaan sen jälkeen lähestyä toisiaan, suora muuttuu käyrän tangentiksi. Mitä tapahtuu, jos käyrällä onkin kolme pistettä, jolloin ne ainakin yleensä määräävät ympyrän, ja sitten annetaan pisteiden yhtyä yhdeksi pisteeksi? Miten ympyrä muuttuu?

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävässä 15 on käsitelty vahvasti yksinkertaistettua ongelman erikoistapausta, mutta yleinen tilannekaan ei ole kovin hankala symbolisella ohjelmalla laskettuna.

Yleisessä tapauksessa on luontevinta käyttää käyrälle parametriesitystä: $x = u(t)$, $y = v(t)$, missä $t$ on parametri. Käyrällä olevat kolme pistettä voivat tällöin olla $(u(t-h),v(t-h))$, $(u(t),v(t))$ ja $(u(t+h),v(t+h))$. Pisteiden yhtyminen merkitsee, että $h$ lähestyy nollaa.

Ympyrän yleinen yhtälö on muotoa $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Kolmen pisteen tulee toteuttaa tämä yhtälö, jolloin saadaan ehdot
\[\left\{
\begin{aligned}
&(u(t-h) - a)^2 + (v(t-h) - b)^2 = r^2\,, \\
&(u(t) - a)^2 + (v(t) - b)^2 = r^2\,, \\
&(u(t+h) - a)^2 + (v(t+h) - b)^2 = r^2\,.
\end{aligned}\right.\] Tämä on yhtälöryhmä, josta voidaan ratkaista $a$, $b$ ja $r$. Tuloksena on yksi ratkaisu, mutta lausekkeet ovat hieman monimutkaisia. Muuttujina ovat $t$ ja $h$.

Tämän jälkeen pitäisi muodostaa raja-arvot, kun $h \to 0$. Symbolisella ohjelmalla tämä on yleensä ongelmatonta, jos kyseessä on tietty käyrä, ts. $u(t)$ ja $v(t)$ ovat tunnettuja funktioita. Ympyrän keskipiste $(a,b)$ ja säde $r$ saadaan tällöin käyräparametrin $t$ funktioina. Kyseessä on parametriarvoa $t$ vastaava käyrän kaarevuusympyrä, jota myös oskuloivaksi ympyräksi kutsutaan (latinan verbistä osculari, suudella). Tämän säde on käyrän kaarevuussäde ja sen käänteisarvo käyrän kaarevuus kyseisessä kohdassa.

Esimerkiksi parametriesitys $u(t) = \cos(t)$, $v(t) = \frac{1}{2}\sin(t)$ esittää ellipsiä. Tällöin saadaan
\begin{align*} r(t) &= \tfrac{1}{8\sqrt{2}}\,(5 - 3\cos(2t))^{3/2}\,, \\a(t) &= \tfrac{3}{4}\cos(t)^3\,, \\b(t) &= -\tfrac{3}{2}\sin(t)^3\,.\end{align*} Funktiot $a(t)$ ja $b(t)$ puolestaan muodostavat erään käyrän parametriesityksen. Tämä on alkuperäisen ellipsin kaarevuuskeskipisteiden ura eli evoluutta. Kuva artikkelin alussa.

Jos $u(t)$ ja $v(t)$ eivät ole tunnettuja funktioita, vaan merkitsevät vain yleisesti käyrän parametriesitystä, ei rajaprosessi $h \to 0$ onnistu symbolisella ohjelmalla. Tällöinkin funktioille $a(t)$, $b(t)$ ja $r(t)$ voidaan kyllä johtaa yleiset lausekkeet, mutta nämä sisältävät funktioiden $u(t)$ ja $v(t)$ derivaattoja. Symbolinen ohjelma ei — aivan oikein — oleta, että esiintyvät tarkemmin määrittelemättömät funktiot olisivat derivoituvia, ja tällöin raja-arvoa ei saada muodostetuksi.

Ohjelmasta riippuen kiertotienä voi olla Taylorin kehitelmän käyttäminen, esimerkiksi
\[u(t+h) = u(t)+ hu'(t) + \tfrac{1}{2}h^2u''(t) + \tfrac{1}{6}h^3u'''(t) + O(h^4).\] Tällöin ohjelmalle annetaan lupa derivaattojen käyttämiseen ja lisäksi helpotetaan raja-arvon laskemista. Tällä tavoin esimerkiksi Mathematica suoriutuu tehtävästä. Tuloksena saadaan hieman monimutkaiset kaavat, joita en tässä toista. Löytyvät yleensä perusoppikirjoista.

Yleensä kaarevuustarkastelut johdetaan oppikirjoissa toisella tavalla. Yhdestä klassikosta, Ernst Lindelöfin kirjasta Differentiali- ja integralilasku ja sen sovellutukset I menettelyn idea kuitenkin löytyy. Aivan ongelmaton ei asia ole. Edellä pisteet valittiin symmetrisesti parametriarvon $t$ eri puolilta. Jätän pohdittavaksi, mitä tapahtuu, jos symmetriaa ei olekaan ja pisteistä kaksi lähestyy kolmatta toisistaan riippumatta.