torstai 28. helmikuuta 2013

Kännykkä-Matlab

Sain lapsiltani joululahjaksi älypuhelimen. Vähitellen on tullut opiskelluksi sen tarjoamia mahdollisuuksia, joita tuntuu riittävän. Parempia ja huonompia.

Matlab on tunnettu numeerisen laskennan tietokoneohjelma, jonka kehitys alkoi 'matriisilaboratoriona' 1970-luvun lopulla ja joka on kasvanut monipuoliseksi teknillisen laskennan apuvälineeksi. Alkuun panijoihin kuuluva Cleve Moler on kirjoittanut katsauksen hankkeen varhaishistoriasta.

Kehitys on vienyt siihen, että Matlabia voi käyttää myös kännykästä tai tabletista. Tuettuja ovat sekä Applen laitteet että Android-laitteet.  Käyttöliittymän voi ladata ilmaiseksi, mutta käyttöoikeus sopivaan lisenssiin tarvitaan. Kyseessä on ns. pilvipalvelu.

Matlabin rinnalle on kehittynyt hyvin samankaltainen, mutta ilmainen klooni, Octave. Tästä on olemassa myös kännykkä- (tai tabletti-) versio. Jos olen oikein ymmärtänyt, tämä on Applen tapauksessa pilvipalvelu, jonka käytöstä täytyy maksaa, ei tosin paljon. Androidin tapauksessa ohjelma ladataan kännykkään, jolloin tilaa menee satakunta megatavua, mutta mitään maksuja ei synny.

Latasin Octaven Android-kännykkääni, ja nyt voin bussissa istuessani laskea satunnaismatriisien ominaisarvoja tai piirrellä kuvia kahden muuttujan funktioiden kuvaajista. Sekä paljon muuta. Ellen keksi hauskempaa. Tulokset voi myös lähettää sähköpostilla, esimerkkinä oheiset kuvat.




Käyttöliittymä on kuitenkin aika kömpelö. Oikeiden syötteiden sisään saaminen tökkimällä sormella virtuaalinäppäimistöä ei ole aivan ongelmatonta. Varsinkin nuolinäppäimiä kaipaa moneen kertaan.

Kömpelyydestä huolimatta tämä avaa melkoisia näköaloja. Pahimmat puutteet varmasti korjautuvat nopeasti, ja sen jälkeen jokaisella kännykän käyttäjällä on mahtava laskentaväline. Tavallinen kansalainen ei ehkä etsi matriisin ominaisarvoja, mutta jokaisen lukiolaisen tarpeisiin täysin riittävä laskentaväline on aina mukana. Laskujen laskeminen ei siis ole ongelma, mutta sen hahmottaminen, mitä pitäisi tai voisi laskea, on entistä vaikeampaa.  Eikä ohjelmoinnin periaatteiden ymmärtäminenkään olisi haitaksi.  Tässä on haastetta matematiikan opetukselle.

sunnuntai 24. helmikuuta 2013

Pisteitä tasaisesti pallopinnalle

Dimensio-lehden numeron 1/2013 pulmatehtävissä pitää sijoittaa $n$ pistettä tasavälisesti pallon pinnalle mahdollisimman kauas toisistaan. Arvoille 2, 3 ja 4 ratkaisu löytyy geometrisilla päättelyillä melko helposti, kuten Dimension sähköisen version eDimension artikkeli osoittaa. Tämä sisältää myös viitteen Edith Mooersin artikkeliin, jossa ongelmaa, ns. Tammesin tehtävää käsitellään yleisesti. Tammes oli hollantilainen kasvitieteilijä, joka vuonna 1930 esitti ongelman siitepölytutkimuksissaan.

Ei ole itsestään selvää, mitä pisteiden tasainen sijoittelu pallopinnalle tarkoittaa. Mooersin artikkelissa asetetaan varsin luonnollinen vaatimus: lyhimmän kahden pisteen välisen etäisyyden tulee olla mahdollisimman suuri. Tällöin pistekonfiguraation tulee olla sellainen, että se antaa funktiolle \[ \min_{i \neq j} d_{ij} \] maksimiarvon. Tässä $d_{ij}$ tarkoittaa $i$:nnen ja $j$:nnen pisteen välistä etäisyyttä ja minimi muodostetaan kaikkien pisteparien suhteen. Etäisyys puolestaan voidaan mitata joko suoraviivaisesti tai pallon pintaa pitkin.

Tämä ei kuitenkaan ole ainoa mahdollisuus. Voisi myös ajatella, että pisteet ovat identtisiä sähkövarauksia, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan pallopinnalla. Ne hylkivät toisiaan ja pyrkivät siten sijoittumaan toisistaan mahdollisimman kauaksi. Tällöin systeemin kokonaispotentiaalin tulee olla mahdollisimman pieni, ts. konfiguraation tulee antaa minimiarvo funktiolle \[ \sum_{i \neq j} \frac{1}{d_{ij}}. \]
Jotakin muutakin voitaisiin tasaisuuden mittana käyttää.

Antavatko eri mittaustavat sitten kuitenkin samanlaiset tulokset? Eivät välttämättä. Esimerkiksi tapauksessa $n = 5$ kelpaa edellisessä vaihtoehdossa konfiguraatio, jossa kaksi pisteistä on pallon navoilla ja muut kolme päiväntasaajalla siten, että niiden välinen kaarietäisyys on vähintään 90° (vasemmanpuolinen kuva). Mahdollisia konfiguraatioita on siten äärettömän paljon. Jälkimmäisessä vaihtoehdossa päiväntasaajalla olevien pisteiden välisen kaarietäisyyden tulee olla 120°, jolloin ratkaisuja on vain yksi (oikeanpuolinen kuva).



Lukija voi kokeilla muitakin pisteiden lukumääriä verkkosivulla http://matta.hut.fi/webMathematica/matta/partikkelit.jsp, jossa laskentavälineenä on palvelimella toimiva Mathematica. (Edellytyksenä luonnollisesti on, että järjestelmä toimii, mikä ei aina ole niinkään selvää.)

Viitteessä http://mathpages.com/home/kmath005/kmath005.htm on selvitetty identtisten sähkövarausten sijoittuminen pallopinnalle tapaukseen $n = 32$ saakka. Voisi kuvitella, että mikäli varausten (pisteiden) määrä on sama kuin jonkin Platonin kappaleen kärkien määrä, ne asettuisivat tämän kappaleen mukaiseen asemaan. Näin ei kuitenkaan kaikissa tapauksissa ole.

Kiintoisan esimerkin pisteiden ainakin jossakin määrin tasaisesta sijoittamisesta pallopinnalle muodostavat radioastronomisten antennien suojakuvut, esimerkkinä Metsähovin suojakupu (siirry sivulla hieman alaspäin). Tiedossa ei ole, millä kriteerillä pisteiden paikat on tässä valittu.

sunnuntai 10. helmikuuta 2013

Matematiikan merkitys elämässä

Lueskelin kertyneitä American Mathematical Societyn lehtiä. Kokosivun ilmoituksia yhdistyksen nettisivuista, joilla matematiikan merkitys elämän eri aloilla tuodaan esiin:

Nämä ovat puheenvuoroja, jotka näyttävät matematiikan merkityksen yhteiskunnassa ja jollaisia toivoisi Suomessakin esitettävän. On tietenkin totta, että amerikkalaiset resurssit ovat suomalaisia valtavan paljon suuremmat eikä oikein ole realistista toivoa, että Suomessa kyettäisiin samantasoisiin ponnistuksiin. Vähempään on tyydyttävä, mutta julkaisemisen tasosta ja tyylistä voisi ottaa oppia. Ulkoasulla ja tarjoilulla on merkityksensä, jotta ihmiset saadaan kiinnostumaan.

Toisaalta mikään ei globaalissa maailmassa estä käyttämästä hyväksi sitä, mitä muut ovat tehneet. AMS:n materiaalien kieli tosin on yleensä englanti (joskin Mathematical Moments -artikkeleita on myös aika monelle kielelle käännettyinä, ei kylläkään suomeksi), mutta ei kai tämän pitäisi olla ylivoimainen este. Lisäoppi kielen ymmärtämisessä olisi pikemminkin ylimääräinen bonus.

Voisin hyvin kuvitella, että jokin Mathematical Moment kannattaisi kerran kuussa (viikossa?) printata ja panna koulun käytävälle ilmoitustaululle ohikulkijoiden ihmeteltäväksi, mahdollisuuksien mukaan värillisenä. Ja saattaisihan teksti sopia englannin (tai ranskan tai ...) kokeeseenkin, vaikka jopa ylioppilaskokeeseen. Saatavana on myös MP3-versio, joten kuunteluakin voi harrastaa.

perjantai 1. helmikuuta 2013

Poincarén konjektuuri

Henri Poincaré muotoili vuonna 1904 julkaistussa artikkelissaan ns. Poincarén konjektuurin (otaksuman). Hän ei onnistunut todistamaan tätä ja todistamattomana se pysyi satakunta vuotta, kunnes venäläinen Grigori Perelman esitti vuonna 2003 sille suurta huomiota herättäneen todistuksen. Kyseessä oli yksi Clay Mathematics Instituten ns. Millenium-probleemoista, joista jokaisen ratkaisusta oli luvassa miljoonan dollarin palkinto. Perelman ei ottanut palkintoa vastaan.

Poincarén konjektuuri esitetään yleensä seuraavassa muodossa: Jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen kolmiulotteinen monisto on homeomorfinen kolmiulotteisen pallopinnan kanssa. Tämä sisältää käsitteitä, joiden sisältö ei ole niinkään selvää muille kuin alan spesialisteille. Jo kolmiulotteinen pallopinta on ongelmallinen: tavallisen kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevan pallon pinta on kaksiulotteinen monisto. Kolmiulotteinen pallopinta on vastaavanlainen, mutta dimensiota ylempänä: tällaisen muodostavat esimerkiksi neliulotteisen avaruuden pisteet, joille pätee $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1$.

Homeomorfinen puolestaan tarkoittaa topologista samanlaisuutta. Karkeistaen voidaan sanoa, että jos kaksi monistoa (kappaletta, pintaa tms.) voidaan muokata toisikseen venyttämällä, rypistämällä tai muulla vastaavalla tavalla, mutta ei repimällä, niin ne ovat homeomorfiset.

Seurauksena onkin, että monet Poincarén konjektuuria käsittelevät populaariartikkelit antavat epämääräisen tai peräti virheellisen kuvan siitä, mistä on kysymys. Mielestäni selkein (ja lyhin) yleistajuinen selitys Poincarén konjektuurista löytyy Clay-instituutin sivulta http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/.

En itsekään tunne Poincarén konjektuurin taustana olevaa algebrallista topologiaa kovinkaan hyvin. Tämän takia tartuin kiinnostuksella Terra Cognitan julkaisemaan suomenkieliseen kirjaan Poincarén konjektuuri, alaotsikkona Maailmankaikkeuden muotoa etsimässä. Tekijä on amerikkalainen Donal O'Shea, Mount Holyoke Collegen matematiikan professori. Syitä oli kaksi: halusin paremmin ymmärtää, mistä on kyse, ja toisekseen katsoa, miten vaikean asian popularisoinnissa on onnistuttu.

Yleisvaikutelma kirjasta oli ehdottomasti myönteinen. Historiallinen tausta tulee esiin, eihän matematiikka synny tyhjästä; Poincarén loikka eteenpäin oli kuitenkin melkoinen. Konjektuurin idean suhteen lähdetään liikkeelle aika yksinkertaisesti: Kaksi ympyrälevyä liitetään reunoistaan toisiinsa, jolloin syntyy pallo, kun levyjä sopivasti pullistetaan.  Levyistä siis ikään kuin muodostetaan pohjoinen ja eteläinen pallonpuolisko ja ne liitetään yhteen päiväntasaajaa pitkin. Ja sitten kysytään, mitä vastaava konstruktio antaisi yhtä dimensiota ylempänä: kaksi palloa sisuksineen, niiden pinnat liitetään yhteen tai pikemminkin samastetaan, havainnollinen mielikuva kun ei enää ole mahdollinen.

Vähitellen teksti kyllä vaikeutuu. Paikoin täytyi ryhtyä kertaamaan muinoin opiskeltua (mutta ei tentittyä) algebrallista topologiaa, nykymaailmassa vaivattomimmin netistä. Lukemisen helpottamiseksi kirjan lopussa on kaikkiaan 271 tarkempia tietoja sisältävää huomautusta, joihin varsinaisessa tekstissä vain viitataan. Tästä huolimatta teksti paikoin puuroutuu: vaikeasta asiasta yritetään sanoa lyhyesti paljon kuitenkaan täsmällisyydestä tinkimättä eikä lukija enää ymmärrä paljoakaan.

Käännös on yleisesti ottaen hyvä, mutta joissakin kohdissa täytyi miettiä, mitähän asia mahdollisesti on ollut englanniksi, jotta ideaan pääsi kiinni. Tällaisten kirjojen kääntäminen on vaativa tehtävä. Kääntäjän pitäisi ymmärtää asia, jotta lauserakenteet tulevat oikein. Vaarana ovat myös kaksitulkintaiset rakenteet: käännös sinänsä voi olla aivan oikein, mutta suomenkielisellä lauseella on toinenkin tulkinta, eikä lukijaparka tiedä kumpaa tarkoitetaan.

Matematiikkaa popularisoivien kirjojen kääntäminen on ehdottomasti kulttuuriteko ja voisikin toivoa, että kääntämiseen olisi käytettävissä enemmän resursseja. Lukiomatematiikan jälkeen Poincarén konjektuurista lukeminen avaa varmasti uusia näköaloja. Kyse on enemmän ajattelusta ja maailman mahdollisesta monimutkaisuudesta kuin mekaanisesta laskemisesta.