tiistai 10. joulukuuta 2013

PISA












Jos kutsuu kirjoitelmiaan matematiikkablogiksi, lienee jonkinlainen velvollisuus sanoa jotakin myös PISAsta. Yritetään siis.

Ei tulos Suomen kannalta tavattoman huono ollut. Jonkinverran on menty alaspäin, mutta eurooppalaisessa seurassa on silti pärjätty aika hyvin. Aasian maat ovat monessa suhteessa erilaisia. Varmasti on kuitenkin syytä pohtia, mistä taantuminen johtuu. Aiempien vuosien menestys on aiheuttanut turhan suurta hypeä, ja nyt olemme saaneet terveellisen muistutuksen.

Missä määrin PISAn tehtävät todella mittaavat matematiikan osaamista, on varsin kyseenalaista. Kykyä terveen järjen käyttöön ne kyllä mittaavat. Huolestuttavaa onkin, jos nyt saatu tulos osoittaa huonontumista terveen järjen käytössä. Paljon siteeratussa salaatinkastike-tehtävässä voi minusta pohtia, onko kyseessä matematiikka, jos tulee ymmärtää, että isompaa erää tehtäessä on ainesosien suhteet säilytettävä. Voisihan vaikka kustannussyistä olla parempi lisätä vain ruokaöljyä. Tai vettä.

Matematiikka kuulunee aika monella — syystä tai toisesta — kategoriaan EVVK, ei voisi vähempää kiinnostaa. Onko tällä vaikutusta vastaamiseen? Jos tehtävät eivät lainkaan kiinnosta, ei ehkä jäädä myöskään sen enempää miettimään vastauksia, vaan vastataan ylipäätään jotain. Muutoin minun on hieman vaikeata ymmärtää, että varsin helpot tehtävät ovat tuottaneet vaikeuksia sentään aika monelle.

PISAn synnyttämässä keskustelussa nähdään tilanteen parantamisen edellyttävän, että
  1. tietotekniikan käyttöä on lisättävä ja
  2. tietotekniikan käyttöä on vähennettävä.
Asia tuskin on näin yksinkertainen. Me elämme maailmassa, jossa tietotekniikan käyttöön törmää kaikkialla ja kasvavassa määrin.  Kyllä koulun tulee opettaa tähän maailmaan. Menneisyyteen ei voi palata, vaikka se kangastelisikin tarunhohteisena onnen aikana (mitä se ei kuitenkaan ollut).

Kun Internet oli syntynyt ja web-sivustot tulivat käyttöön, puhuttiin paljon tulevasta tietoyhteiskunnasta. Olen ollut mukana, kun sähkökirjeiden lähettäminen tuli mahdolliseksi ja ensimmäiset selaimet saatiin käyttöön, mutta en tuolloin kyennyt arvaamaan, mitä kaikkea oli tulossa. Tieto- ja viestintäyhteiskunta on merkinnyt sellaista maailman avautumista ja mahdollisuuksien kasvua, että sitä on opittava lapsuudesta lähtien vähitellen ymmärtämään ja hyödyntämään.

Kaikella on kuitenkin myös haittansa. Runsauteen paneutuminen vaatii aikaa. Kaikkea ei ehdi ja liian yrittäminen johtaa kaiken silppuuntumiseen.  Paljon on mahdollista, mutta yhteen asiaan paneutumista on vaikeata saada tehdyksi. Onneksi on paljon, johon ei oikeastaan kannatakaan paneutua. Lukija voi miettiä PISA-kirjoittelun asemaa.

Tässä lienee ongelman ydin: Tieto- ja viestintätekniikka tuo paljon hyvää, mutta hyvän esiin suodattaminen ei ole aivan helppoa. Siihen on kuitenkin opittava. Hyödyt ovat sen verran suuret.

Tietotekniikkaa pyritään käyttämään myös pedagogisena välineenä.  Tässä ei sinänsä ole uutta. Aikoinaan on vannottu televisio-opetuksen nimiin, yksinkertainen HTML-kieli, interaktiiviset web-sivut ja CD-ROM-levyt ovat olleet avaimia kaikkeen. Varsin luonnollista on ollut edetä tekniikka edellä: on saatu kiinnostavia välineitä, niitä on haluttu kokeilla, niihin on innostuttu ja niiden on alettu uskoa ratkaisevan kaiken. Kunnes on tullut seuraava tekniikka.

Kaikesta on toki jäänyt jotakin, jota on kehitetty edelleen ja joka on sulautunut uudempiin tekniikkoihin. Tätä kutsutaan kehitykseksi eikä siinä ole mitään pahaa. Nopea kehitys tuottaa kuitenkin ongelmia: Jos kyseessä ovat massiiviset ratkaisut — kuten vaikkapa tablettien ja opetusohjelmien käyttö koko koululaitoksessa — käyttäjät on koulutettava aina uudelleen uusiin tekniikkoihin, laitteet on uusittava, ohjelmistot on päivitettävä ja ennen pitkää kirjoitettava uudelleen. Ei ole ihan halpaa.

Esimerkkinä materiaalien vanhenemisesta tarjoan omat osittain yli kymmenen vuotta vanhat aikaansaannokseni verkkosivulla http://matta.hut.fi/matta/.  Lukija voi katsoa, kuinka monet niistä ovat edelleen toiminnallisesti tai ulkonäkönsä puolesta käyttökelpoisia; ankean näköistähän ei kukaan halua käyttää. Tarjoan siis yhden silpun lisää.

keskiviikko 4. joulukuuta 2013

Auto vai vuohi?

Ns. Monty Hall -ongelman taustana on amerikkalainen televisio-ohjelma Let's Make a Deal, jonka juontajana toimi Monty Hall. Kyseessä on peli, jossa yleensä yleisön joukosta valittu kilpailija pyrkii voittamaan itselleen auton.

Aluksi kilpailijalle näytetään kolme ovea ja kerrotaan, että yhden takana on auto, kahden muun takana vuohi. Hän saa valita yhden oven, mutta ei avata sitä. Pelin juontaja, joka tietää missä auto on, avaa tämän jälkeen toisen kahdesta muusta ovesta, jolloin nähdään, että sen takana on vuohi. Kilpailijalta kysytään, haluaako hän pitäytyä valinnassaan vai vaihtaa sen toiseen vielä suljettuna olevaan oveen. Ongelmana on, kannattaako vaihto (kun tavoitteena on useimpien länsimaisten ihmisten tapaan voittaa auto eikä vuohta).

Lähestymistapoja voisi olla kolme:
  1. Uskoa auktoriteetteja, jotka sanovat, että kannattaa vaihtaa.
  2. Todeta, että kyseessä on todennäköisyyslaskennan ongelma ja ryhtyä perehtymään ehdolliseen todennäköisyyteen ja Bayesin kaavaan.
  3. Kirjoittaa ohjelmakoodi ja simuloida tilannetta.
Ongelma herätti 1990-luvun alussa Yhdysvalloissa mielenkiintoisen debatin, jota on referoitu  englanninkielisessä Wikipedia-artikkelissa. Artikkeli sisältää myös useita tapoja ongelman ratkaisemiseen, mm. Bayesin kaavaa käyttäen. Sama ratkaisu on esitetty ehkä hieman selkeämmin vastaavassa suomenkielisessä Wikipedia-artikkelissa. Helpoimmin ymmärrettävä lienee kuitenkin edellisessä kirjoituksessani mainitun Ehrhard Behrendsin kirjan (Five-Minute Mathematics) ratkaisu. En tässä puutu todennäköisyysteoreettiseen ratkaisuun lähemmin.

Päätin itse yrittää simuloida tilannetta ja tämä osoittautuikin helpommaksi kuin kuvittelin.  Simulointeja löytyy toki netistäkin.

Olkoot alkuperäiset kolme valintamahdollisuutta — ovet — $a_1$, $a_2$ ja $a_3$.  Yhden arvona on 1 (auto), kahden muun arvona 0 (vuohi). Satunnaislukugeneraattorin avulla näistä valitaan yksi. Luonnollisinta on olettaa, että kaikki ovat yhtä todennäköisiä, ts. jokaisen todennäköisyytenä on 1/3. Välttämättä ei näin tietenkään ole: voisihan ajatella esimerkiksi, että juontaja on viehättynyt symmetrioista ja sijoittaa auton useimmiten keskimmäisen oven taakse, vuohet reunoille. Yleensäkin todennäköisyyslaskennan ongelman perustodennäköisyyksien valinta on muuta kuin matematiikkaa. Kyse on siitä, miten uskomme asioiden olevan. Esimerkiksi yleensä uskomme heittävämme virheetöntä noppaa tai luotamme tilastodataan.

Toisella kierroksella valintoja on kaksi: $b_1$ tarkoittaa alkuperäiseen valintaan pitäytymistä ja sen arvo on sama kuin satunnaislukugeneraattorilla tehdyn valinnan arvo, siis joko 0 tai 1. Jos tämä on 1, juontaja voi avata kumman tahansa jäljellä olevista ovista, sillä molemmissa on vuohi. Suljetuksi jäävän oven takana on siis myös vuohi ja toinen vaihtoehto $b_2$ on 0. Jos taas $b_1$ on 0, juontajalla on vain yksi mahdollisuus avata ovi vuohen edestä. Suljetuksi jäävän takana on auto ja siis tällöin $b_2$ on 1.

Vaihtoehdoista $b_1$ ja $b_2$ siis aina toinen on 1 ja toinen on 0. Kun algoritmi on ohjelmoitu, voidaan käynnistää simulointi: ajetaan laskenta useita kertoja ja katsotaan, kuinka monessa tapauksessa päädytään tilanteeseen, jossa $b_1$ on 1, ja kuinka monessa tilanteeseen, jossa $b_2$ on 1. Mutta tämä onkin tarpeetonta, sillä algoritmin rakenne jo osoittaa, että suhde tulee olemaan 1:2.

Toki myös ajoin simulaation. Miljoonalla kierroksella todennäköisyyksiksi skaalatut tulokset olivat varsin stabiilisti 0.333–0.334 ja 0.666–0.667. Aikaa laskentaan meni alle 15 sekuntia. Tulokseksi voisi tietenkin tulla myös vaikkapa 1 ja 0, mutta tämän todennäköisyys on varsin vähäinen. Tuskin onnistuisi kertaakaan, vaikka maailman tällä hetkellä elävä väestö käyttäisi elinaikansa simulaation ajamiseen kerran sekunnissa (minun konettani nopeammalla laitteella).