tiistai 30. joulukuuta 2014

Polynomikäyriä ja -pintoja Bézier'n tapaan

Koulussa opetetaan polynomilaskentaa. Lähinnähän tämä on pohjaa lausekkeiden muokkaamiseen ja sieventämiseen, mikä saattaisi olla aiheen rehellisempi nimi.  Monelle ehkä jää hieman hämäräksi, missä polynomeja oikeastaan voi käyttää.  Tämä onkin hankala kysymys, niin monessa yhteydessä polynomeilla on käyttöä.  Yhtenä esimerkkinä ovat autojen peltien muodot. Puolisen vuosisataa sitten alkoivat nimittäin ranskalaiset Paul de Casteljau (Citroënilla) ja Pierre Bézier (Renaultilla) käyttää polynomeja tietokoneavusteisen suunnittelun (CAD, Computer Aided Design) apuvälineinä. Tekniikkaa käytetään nykyään muuallakin, mm. kuvankäsittelyohjelmissa.

Kyse on käyrien ja pintojen esittämisestä sopivan parametrisoinnin avulla.  Käyrän parametriesitys on periaatteessa muotoa \[ x = f(t), \quad y = g(t),  \] avaruudessa lisäksi $z = h(t)$. Jokaista parametrin $t$ arvoa vastaamaan saadaan yksi käyrän piste. Pinnan tapauksessa parametreja on kaksi, $u$ ja $v$: \[ x = f(u,v), \quad y = g(u,v), \quad z = h(u,v).  \] Funktioista $f$, $g$ ja $h$ riippuu, millainen käyrä tai pinta syntyy.  Suunnittelutehtävissä nämä ovat polynomeja, joiden kertoimet määräytyvät ns. ohjauspisteiden sijainnin perusteella. Siirtämällä näitä hiirellä tietokoneen ruudulla voidaan käyrää tai pintaa muunnella ja hakea sille haluttu muoto.

Ohjauspisteiden tulee olla sellaisia, että suunnittelija voi mieltää helposti niiden vaikutuksen käyrän tai pinnan muotoon. Luonnollisimmaksi on osoittautunut kolmannen asteen polynomin käyttö (pinnan tapauksessa kummankin parametrin suhteen erikseen). Tällöin puhutaan Bézier'n käyristä ja pinnoista. Perustapauksessa käyrällä on neljä ohjauspistettä, pinnalla 16. Käyrän vektorimuotoinen parametriesitys on \[ \vec{r}(t) = (1 - t)^3\vec{p}_1 + 3t(1 - t)^2\vec{p}_2 + 3t^2(1 - t)\vec{p}_3 + t^3\vec{p}_4, \] missä $\vec{p}_j$ tarkoittaa ohjauspisteen paikkavektoria. Pinnan tapauksessa lauseke on selvästi mutkikkaampi: \[ \vec{r}(u,v) = \sum_{j=0}^3\sum_{k=0}^3 \binom{3}{j}\binom{3}{k} u^j(1-u)^{3-j}v^k (1 - v)^{3-k}\vec{p}_{jk}, \]

Bézier'n käyrä. Ohjauspisteet punaisella.

Bézier'n pinta. Ohjauspisteet vihreän verkon solmupisteitä.


Jos halutaan pitempi ja mutkikkaampi käyrä, saattaisi tuntua luonnolliselta nostaa polynomin astelukua, jolloin ohjauspisteitäkin tulee lisää. Tällöin kuitenkin menetetään intuitiivisuus: ei ole enää aivan helppoa hahmottaa, mitä ohjauspisteitä on siirrettävä haluttuun tulokseen pääsemiseksi. Parempi ratkaisu on tyytyä kolmannen asteen polynomeihin, mutta siirtyä paloittain jatkuviin funktioihin: parametrin osaväleillä lausekkeet ovat kolmannen asteen polynomeja, mutta lauseke vaihtuu yhteenliimauskohdissa. Käyrän laskennasta tulee monimutkaisempaa ja algoritmien tehokkuuteen on kiinnitettävä huomiota (tietokoneissakin). Tällöin puhutaan splinikäyristä. (Sana 'splini' tarkoittaa alunperin piirtäjän työkalua, joustavasta metalliliuskasta tehtyä viivainta, joka voitiin taivuttaa halutulle mutkalle ja sen avulla piirtää käyrä.  Nimitys on säilynyt, vaikka suunnittelija onkin siirtynyt käyttämään kynän sijasta tietokonetta.)

Splinikäyrä. Ohjauspisteet punaisella.


Kuvia vastaavat laskentaohjelma Mathematicalla tehdyt koodit ovat lukijan käytettävissä, mutta tähän tarvitaan ilmainen CDF Player (Wolfram Research), joka on ensin asennettava omaan koneeseen. Linkit alla.

Yksinkertainen Bézier'n käyrä. Punaisia ohjauspisteitä voi siirtää hiirellä.

Splinikäyrä. Useita punaisia ohjauspisteitä, joita voi siirrellä.

Bézier'n pinta. Ohjauspisteet merkitty kaksinkertaisilla indekseillä, vasemmanpuolisessa ruudukossa säädetään x- ja y-koordinaatti, oikeanpuolisilla janoilla z-koordinaatti.  Painikkeissa on muutamia valmiita esimerkkejä (joita myös voi muokata).

keskiviikko 26. marraskuuta 2014

Lukiomatematiikan aloitus

Valtioneuvosto sai lopulta päätetyksi lukion tuntijaosta. Kovin paljon muutoksia ei tullut.  Ehkä on hyväkin, että suuria muutoksia ei tehdä, ennen kuin on nähty, mitä sähköisistä ylioppilaskirjoituksista tulee. Uusien opetussuunnitelmien teko voi nyt alkaa, ja ne otetaan käyttöön syksyllä 2016.

Joitakin merkittäviä muutoksia kuitenkin tapahtui: kolme syventävää teemaopintojen kurssia sekä pitkän ja lyhyen matematiikan yhteinen aloituskurssi. Teemaopintojen kurssien aihepiirit eivät risteä muiden kurssien kanssa, eikä niiden suunnittelu kireän aikataulun puitteissa tuottane ylivoimaisia vaikeuksia.

Matematiikan yhteisen aloituskurssin osalta tilanne on toinen. Ei ole selvää, mitä kurssin pitäisi sisältää, ja toteutustavasta riippuen vaikutus muihin matematiikan kursseihin voi olla suurikin. Jos aika loppuu kesken, on tyydyttävä pikaisesti tehtyyn hätäratkaisuun.  Kyseessä on uhka matematiikan osaamiselle. Huolellisesti tehty uudistus sen sijaan antaisi mahdollisuuden tilanteen parantamiseen.

Helppoja hätäratkaisuja ovat ainakin seuraavat:

Peruskoulumatematiikan kertauskurssi, jossa sisällöllisesti ei ole uutta. Tällainen on tarpeen osalle opiskelijoista, mutta peruskoulumatematiikkansa osaaville se on hyödytön ja hukkaan heitettyä aikaa. Innostava se tuskin on kenellekään.

Laskinkurssi, jossa opetellaan käyttämään jotakin laskinta tai tietokoneohjelmaa ja kerrataan sen avulla peruskoulun matematiikkaa. Laskimen työvälinekäyttöä on kuitenkin vaikeata oppia ilman riittävää substanssia. Leimautuminen laskinkurssiksi merkitsee keskittymistä nappulatekniikkaan, joka kaikista lukion asiasisällöistä vanhenee nopeimmin.

Jokin nykyisistä kursseista siirretään aloituskurssiksi. Tällainen voisi olla tilastoja ja todennäköisyyttä käsittelevä kurssi tai kooste nykyisten ensimmäisten kurssien asiasisällöistä. Kumpikaan vaihtoehto ei anna oikeaa kuvaa siitä, mitä matematiikka on, eikä auta valinnassa.

Kokonaan uuden aloituskurssin rakentaminen ei ole helppoa. Lähtökohtana pitäisi olla lyhyen ja pitkän matematiikan välillä valitsemisen helpottaminen, mutta samalla jonkin uuden oppiminen unohtamatta varsin monen tarvitsemaa peruskoulumatematiikan kertausta. Samalla tulisi kehittyä jonkinlainen näkemys matematiikan merkityksestä ja käyttökelpoisuudesta.  Julistuksenomainen tieto ei aina aloittelevalle lukiolaiselle riitä eikä sen oikeastaan pidäkään riittää.

Teen ehdotuksen: Yhteinen aloituskurssi rakennetaan matematiikan ehkä merkityksellisimmän käsitteen, funktion varaan. Määrittelyn jälkeen esimerkkeinä peruskoulusta tuttuja lineaarisia funktioita ja polynomeja, mutta myös mutkikkaampia lausekkeita ja laskimessa esiintyviä funktioita (trigonometriaa, eksponenttifunktio, jopa käänteisfunktion käsite), yhtälöitä ja epäyhtälöitä, kaksi- ja kolmiulotteiset koordinaatistot. Käsittelyn pohjana manuaalinen sieventäminen, graafiset esitykset käsin ja laskimella tehtyinä, ei niinkään asioiden todistaminen.

Riittävän funktiokokoelman hahmottaminen antaa mahdollisuuden kurkistaa joihinkin matematiikan sovelluksiin reaalimaailmassa ja nähdä jotakin matematiikan käyttökelpoisuudesta.  Laskimien (tai tietokoneiden) käyttöön työvälineinä opitaan, jolloin niiden hyödyntäminen myös koulun ulkopuolisessa elämässä on luonnollista.

Ongelmana on, että kurssi väistämättä vaikuttaa myös muihin kursseihin, jotka pitää muokata vastaavasti. Tarvitaan laajempi opetussuunnitelman uudistus, aidosti uudet kirjat ja opettajillekin aikaa perehtyä muutokseen.

Syksy 2016 on liian pian. Ehkä kuitenkin kannattaisi mieluummin tähdätä harkittuun uudistukseen eikä hyväksyä hätäratkaisua.

keskiviikko 12. marraskuuta 2014

Prinssi Rupert ja GeoGebra

Ruprecht von der Pfalz, englantilaisittain Prince Rupert of the Rhine, Duke of Cumberland, eli 1600-luvulla ja osallistui moniin vuosisadan kärhämiin. Sotilasuran lisäksi hän harrasti monia asioita: taiteita, luonnontieteitä, matematiikkaa jne.

GeoGebra puolestaan on ns. dynaamisen geometrian ohjelmisto, joka on tarkoitettu geometrian opetus- ja opiskeluvälineeksi ja joka on saavuttanut kasvavaa suosiota peruskoulun ja lukion opettajien keskuudessa monessa maassa, myös Suomessa.

Miten nämä kaksi sitten kohtaavat?

Ruprecht von der Pfalz esitti aikoinaan geometrisen ongelman: Onko mahdollista työstää kuutioon sellainen reikä, että toinen samankokoinen kuutio voidaan työntää siitä läpi? Jos voidaan, niin voisiko läpi työnnettävä kuutio olla jopa isompi?  Miten paljon isompi? Ongelma on täydelleen ratkaistu — voidaan — 1700-luvulla ja sitä on käytetty harjoitustehtävänä monilla deskriptiivisen geometrian kursseilla.  Ei kuitenkaan ole aivan helppoa muodostaa mielikuvaa kuutiosta reikineen.

GeoGebraan on melko hiljattain lisätty työkalut kolmiulotteisen geometrian käsittelyyn.  Kuvaa Ruprechtin reiällisestä kuutiosta saattaisi siis olla mahdollista yrittää muodostaa GeoGebran avulla.

Olen joskus 80-luvulla käyttänyt CATIA-nimistä tietokoneavusteisen suunnittelun ohjelmaa (CAD = Computer Aided Design), joka oli (ja on edelleenkin) täysin kolmiulotteinen. Sillä on suunniteltu erilaisia kolmiulotteisia esineitä kuten laskettelumonoja, Renault-autoja, Mirage-suihkuhävittäjiä ym.  Kokeilin tuolloin Ruprechtin reikäkuution mallintamista, ja CATIAn työkalut riittivät erinomaisesti. Niinpä ajattelin testata GeoGebran mahdollisuuksia, vaikka se toki onkin tarkoitettu hieman vaatimattomampaan käyttöön.

Aika pitkälle pääsin. Reiällinen kuutio on kuvassa vihreällä, keltainen särmiö osoittaa kanavaa, jota pitkin toinen kuutio pitää työntää. Vihreä kuutio reikineen saataisiin näiden kappaleiden joukko-opillisena erotuksena, mutta sopivia työkaluja ei GeoGebrassa ainakaan vielä ole. Voi olla, ettei aivan pian tulekaan ainakaan täydessä yleisyydessä.  Sen verran vaativa ongelma on kyseessä.

Osallistuin loka-marraskuun vaihteessa Ylöjärvellä pidettyyn pohjoismaiseen (ja Baltian kattavaan) GeoGebra-konferenssiin ja esittelin siellä kokeiluni. Kirjoitin esityksestäni myös lyhyen nettiartikkelin: http://matta.hut.fi/matta/geogebra/rupert.html. Tämä sisältää animoitavat GeoGebra-mallit, joiden avulla voi kokeellisesti tutkia myös mahdollisuutta työntää suurempi kuutio reiästä läpi. Nämä eivät välttämättä edellytä GeoGebran asentamista.

sunnuntai 19. lokakuuta 2014

Ohjelmistojen mammuttitauti tuhoaa matematiikan oppimisen

Raivasin hyllyäni, johon oli vuosien varrella kertynyt kaikenlaisia oppaita ja dokumentteja matemaattisista ohjelmistoista. Varsin montaa ohjelmaa olenkin käyttänyt: muMath, Reduce, Derive, muPad, Maple, Mathematica, Macsyma, Matlab, Sage, Cabri, Geometer's Sketchpad, GeoGebra, varmaan vielä muitakin. Lueteltuina siinä järjestyksessä kuin mieleen juolahtivat.

Aika monet näistä ovat kuolleet, jotkut muuttaneet osaksi jotakin toista, muutamat hyvissä voimissa mammuteiksi paisuneina. Aikoinaan talletetut paperiset oppaat ja manuaalit menivät suurelta osalta roskiin (historia katoaa!), nykyään dokumentit ovat sähköisiä.

Jäin miettimään tapahtunutta kehitystä, tai pitäisikö mieluummin puhua muutoksesta. Kun kaksikymmentä tai kolmekymmentä vuotta sitten aloin käyttää Matlabia ja muMathia tai Mathematicaa matematiikan opetuksen apuvälineinä Teknillisen korkeakoulun matematiikan peruskursseilla, ohjelmistot olivat nykyisiin verrattuina kohtuullisen kokoisia, ja opiskelijalla oli edellytykset saada käsitys ohjelmiston kanssa seurustelusta melko nopeasti. Omia aivojakin joutui vaivaamaan: Mikä olisi järkevä tapa saada haluttu tulos tarjolla olevilla perustyökaluilla?  Mitä matematiikkaa tähän tarvittaisiin? Tapahtui sekä matematiikan että ohjelmoinnin oppimista.

Sittemmin muMath on kuollut pois, Matlabista ja Mathematicasta on tullut mammutteja, jotka tavoittelevat täydellisyyttä yhä suuremmalla määrällä valmiita algoritmeja. Näillä voi tehdä lähes mitä tahansa, mitä mieleen juolahtaa, kunhan on löytänyt oikean komennon ja oppinut käyttämään sitä.  Erinomaisia työvälineitä ammattilaiselle, mutta tuskin matematiikan opiskelijalle.  Oikeastaan niillä ei ole enää roolia peruskurssiopiskelijan työvälineinä.  Huomio kiintyy liikaa oikean komennon etsimiseen, ei sen takana piilossa olevaan matemaattiseen algoritmiin. On kuin hankkisi ruuvinvääntimen lukuisine kärkineen parin vanhanaikaisen ruuvin irrottamiseen.

Tämän hetken opiskeluvälineitä ovat pikemmin symboliset laskimet, niitä vastaavat tietokoneohjelmat ja dynaamisen geometrian ohjelmat. Näilläkin vain tuntuu olevan mammuttitauti: lisää näppäimiä, lisää komentoja, näiden mukana usein vaikeasti hahmotettava käyttöliittymä. Opiskelijan ongelmaksi tulee ennen muuta oikean näppäimen löytäminen.

Mammuttitaudilla on kaupalliset syyt. Kun kerran on oppinut oikeat näppäimet tai komennot, ei helposti laskinta tai ohjelmaa vaihda.

Olisiko vaihtoehtoja? Onhan toisaalta hyvä, että tarjolla on monipuolisia työvälineitä.

Jospa opiskelija saisi laskimeensa ja tietokoneeseensa aluksi suhteellisen rajoitetun peruspaketin, ja taitojen ja tarpeen lisääntyessä hän voisi ladata mukaan erilaisia lisäpaketteja. Ehkei koskaan mitään, jos tarvetta ei ilmene. Lisäpakettien rajapinta voisi olla avoin, jolloin itsekin voisi tehdä tarvitsemansa lisäykset ja samalla oppisi paljon, myös kaivattua ohjelmointia.

Yksinkertainen esimerkki: Binomikertoimen laskemiseen ei tarvita erillistä näppäintä, jos kyseessä ei ole ammattimainen binomikertoimien laskeminen.  Jos kertoman laskeminen on valmiina, binomikertoimen voi laskea muutamalla näppäilyllä eikä tarvitse miettiä, kuinka päin luvut on valmiille algoritmille annettava. Kun kyllästyy näppäilyihin, voi ohjelmoida binomikertoimen laskemisen.  Ja voisi tietenkin kertoman laskemisenkin ohjelmoida itse ...

keskiviikko 3. syyskuuta 2014

Laskentaohjelmalla oppii uutta

Laskin Mathematica-ohjelmistolla Fourier'n sarjaa funktiolle $f(x) = x$ välillä $[-\pi,\pi]$. Tuloksena on
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\,\sin(nx) =
2\sin(x) - \sin(2x) + \frac{2}{3}\sin(3x) - \frac{1}{2}\sin(4x) + \dots ,
\]
kuten eri kurssien harjoitustehtävänä on lukuisia kertoja laskettu.

Sarjan summa $s(x)$ on paloittain jatkuva funktio, joka avoimella välillä $]-\pi,\pi[$ saa arvot lausekkeen $f(x) = x$ mukaisesti, välin päätepisteissä arvon $0$ ja joka jatketaan jaksollisesti koko reaaliakselille. Funktio ei siten ole jatkuva pisteissä $\pi + 2n\pi$, $n$ kokonaisluku. Kuvaaja näyttää alla olevan kuvan mukaiselta.


Mathematicahan osaa summeerata kaikenlaista, joten ajattelin kokeilla, antaako se sarjan summaksi jollakin tavoin esitetyn paloittain jatkuvan funktion. Tulos hieman yllätti:
\[
s(x) = i\left(\log(e^{-ix}(1+e^{ix})) - \log(1+e^{ix})\right).
\]
Kompleksialueen funktioita siis, eksponentti- ja logaritmifunktio, ja tuloksen pitäisi kuitenkin olla reaalinen. Epäjatkuvuuksiakin pitäisi olla.

Helpointa on lähteä katsomaan asiaa piirtämällä kuvaaja. Tämä toki ei ole todiste, mutta näyttää ainakin, onko edes mahdollista, että lauseke olisi oikein. Tuloksena on tällöin juuri sellainen kuvaaja kuin pitäisikin.

Seuraavaksi kuvaaja lausekkeen imaginaariosasta:


Hieman hyppii, mutta pystyakselin yksiköt ovat luokkaa $10^{-16}$, joka vastaa Mathematican grafiikan laskentatarkkuutta. Imaginaariosa näyttäisi siis olevan identtisesti $= 0$, joten hyvältä näyttää.

Saatua funktiota $s(x)$ voi katsoa myös kompleksitason funktiona, ts. sijoittaa $x = u + iv$ ja piirtää funktion reaali- ja imaginaariosan kuvaajat kahden muuttujan ($u$ ja $v$) funktioina. Sama koskee funktion itseisarvoa $|s(x)|$.

Reaaliosa
Imaginaariosa
Itseisarvo

Näiden merkityksen pohtiminen on jo hieman vaativampaa.

Miten sitten funktion lausekkeesta voi syntyä epäjatkuvuuksia? Avaimena on kompleksisen logaritmifunktion ymmärtäminen:
\[
\log z = \log|z| + i \arg z + 2n\pi i,
\]
missä $n$ on kokonaisluku ja arvo $n = 0$ antaa ns. päähaaran. (Kyseessä on luonnollisen logaritmin laajennus, mutta kompleksialueella ei yleensä käytetä lyhennettä $\ln$.)

Napakulma eli argumentti $\arg z$ saa päähaaralla arvot väliltä $]-\pi,\pi]$, jolloin rajakohtaa $\arg z = \pi$ ohitettaessa syntyy hyppy suuruudeltaan $2\pi$.  Tämä synnyttää epäjatkuvuudet.

Kompleksista logaritmifunktiota voi tutkia piirtämällä kuvaajia sen päähaarasta kahden muuttujan funktiona $\log(u + iv)$. Alla on nähtävissä kolme: reaaliosa, imaginaariosa ja reaaliosa väritettynä imaginaariosan mukaisesti. Hyppyepäjatkuvuus näkyy kahdessa jälkimmäisessä pinnan repeämänä ja ja värin äkillisenä vaihtumisena.
Reaaliosa
Imaginaariosa
Reaaliosan kuvaaja, väritys imaginaariosan mukaan 
Mathematica on siis summeerannut aivan oikein. En vain ole koskaan tullut ajatelleeksi, että epäjatkuvuuksia voisi toisinaan käsitellä myös näin. Tarpeettoman kryptinen tapa selvän asian esittämiseen tämä kyllä saattaa olla.

Kompleksifunktioiden alkeista tarkemmin kiinnostunut lukija voi silmäillä dokumenttia http://matta.hut.fi/matta/kompleksiluvut/cluvut.pdf.

sunnuntai 17. elokuuta 2014

Keskuskadun Penrose


Helsingin Keskuskatu laatoituksineen alkaa olla valmis, kuten Helsingin Sanomat uutisoi 6.8.2014. Laattakuviota kutsutaan Penrosen laatoitukseksi englantilaisen matemaatikon ja fyysikon, Sir Roger Penrosen (ks. esim. http://www.worldofescher.com/misc/penrose.html) mukaan. Kyseessä on matemaattisesti mielenkiintoinen kuvio, joka ansaitsee enemmänkin huomiota kuin Helsingin Sanomien jutun hieman ylimalkainen maininta mahdollisuudesta 'ratkoa geometrian ongelmia' laattakuvioiden avulla.

Penrosen laatoituksessa käytetään vain kahta erimuotoista laattaa.  Nämä yleensä tunnetaan nimillä leija (engl. kite) ja nuoli (dart).  Niitä on käsitelty myös kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävissä ja täsmällinen muoto kuvineen löytyy tehtäväpaperista (http://matta.hut.fi/matta/yoteht/k11p.pdf).

Laattoja sopivasti asettelemalla saadaan laatoitus, joka ei ole jaksollinen: Jos äärettömän suuren pinnan peittävästä laatoituksesta tehtäisiin kopio ja se siirrettäisiin mihin tahansa suuntaan minkä tahansa matkan alkuperäisen laatoituksen päällä, niin se ei yhtyisi tähän.  Tavalliset kylpyhuonelaatoitukset, jotka muodostuvat neliöistä tai kuusikulmioista tms. sen sijaan ovat selvästi jaksollisia.

Keskuskadun laatoitus antaa itse asiassa väärän kuvan Penrosen laatoista. Yllä olevaan Keskuskadulta otettuun kuvaan on rajattu kaksi leijalaattaa ja kaksi nuolilaattaa. Nuoli on koottu kolmesta erillisestä palasta, mikä rikkoo laatoituksen idean: oleellista on, että laatoitus koostuu mahdollisimman pienestä määrästä erilaisia laattoja. Syynä on saattanut olla kiven leikkaamisen vaikeus, jos yksi kulmista on yli 180 astetta.

Tiedekeskus Heurekan edustalla on oikeaoppinen Penrosen laatoitus, jossa laattoihin on myös uurrettu niiden yhteen sovittamisessa tarvittavat ympyrän kaaret. (Kuva http://www.gamepuzzles.com/kdtileipp25.jpg sivulla http://www.gamepuzzles.com/helsinki.htm.)

Penrosen laatoilla voidaan tarkoittaa myös toisenlaista laatoitusta, joka koostuu kahdesta suunnikkaan muotoisesta laatasta. Tämäkin on jaksoton.  Olen vuosia sitten tehnyt laatoista palapelin, joka koottiin jouluna olohuoneemme lattialle.


Kuvio voidaan myös tulkita päältäpäin katsotuksi kolmiulotteiseksi rakenteeksi, Wieringan katoksi. Tällöin se muodostuu vain yhdenlaisista suunnikkaista, jotka ovat erilaisissa kaltevuuksissa vaakatasoon nähden. Osoitteessa http://demonstrations.wolfram.com/PenroseTilingsAndWieringaRoofs/ on animaatio, jonka katsomiseen kuitenkin tarvitaan joko kaupallinen laskentaohjelma Mathematica tai ilmaiseksi saatava CDF Player (http://www.wolfram.com/cdf-player/).

Lisätietoja ja kuvia Penrosen laatoista löytyy moniltakin verkkosivuilta.  Ainakin kannattanee katsoa http://intendo.net/penrose/.

torstai 3. heinäkuuta 2014

Kexlerus ja koodaus

Pitäisikö koulussa opettaa esimerkiksi matematiikan opetuksen yhteydessä myös ohjelmointia, tai kuten tunnutaan sanovan, koodausta? Muutama suomalainen yritys on menestynyt tietokonepelien kehittämisessä ja tämä on luonut toiveita uudesta menestysalasta, joka ehkä auttaisi Suomea nousemaan taloudellisista vaikeuksista.  Tämä ei kuitenkaan riitä perusteeksi opettaa jokainen suomalainen koodaamaan, varsinkin kun menestyspelin tekemiseen tarvitaan muutakin kuin koodaustaitoja.

Ohjelmoinnin idean ymmärtäminen saattaisi kuitenkin hyvinkin kuulua yleissivistävän koulun opetussuunnitelmaan. Sehän muodostaa pohjan tietotekniikan mahdollisuuksien ymmärtämiseen jo yleisten kansalaistaitojen tasolla. Lisäksi se avaa uusia näkökulmia matematiikkaan, jolloin opettaminen matematiikan yhteydessä olisi paikallaan. Toki opetus voidaan järjestää paremmin tai huonommin (kuten mikä tahansa asia), mutta ajatusta sinänsä ei pitäisi torjua, vaan pyrkiä löytämään hyvä toteutustapa.

Esimerkkinä matematiikan ja ohjemoinnin suhteesta tarjoilen Suomen ensimmäisen matematiikan professorin Simon Kexleruksen matematiikan tehtävän, jonka olen joskus löytänyt Turun Aboa Vetus & Ars Nova -museon jostakin näyttelystä. Tarkempaa referenssiä minulla ei ole; kysyin museosta vuosia myöhemmin käyttäessäni esimerkkiä jossakin yhteydessä, mutta eivät enää osanneet sanoa, mistä esimerkki oli näyttelyyn löytynyt.

Näin siis Kexlerus: Sinulla on viinejä, jotka maksavat 3, 5, 8 ja 10 markkaa pullolta. Ota yhteensä kymmenen täyttä pulloa ja tee niistä sekoitus, joka maksaa 6 markkaa pullolta. Montako pulloa kutakin viinilajia on otettava?

En tiedä, miten Kexlerus on tehtävänsä ratkaissut. Jotakin voi toki arvella. Koodaustaitoinen henkilö panee kuitenkin hetkessä tietokoneen töihin ja saa helposti kaikki seitsemän ratkaisua. Jos tarvittavat pullomäärät ovat $a$, $b$, $c$ ja $d$, täytyy olla ensinnäkin
\[
a+b+c+d = 10.
\] Koko annoksen hinnaksi tulee 60 markkaa, jolloin tulee olla
\[
3a+5b+8c+10d = 60.
\] Kyse on siten tämän yhtälöparin ei-negatiivisista kokonaislukuratkaisuista. Enempää ajattelematta voi päätellä, että mitään viinilajia ei oteta kymmentä pulloa enempää. Seuraava koodinpätkä siis tuottaa ratkaisut:
for a=0 to 10
for b=0 to 10
for c=0 to 10
for d=0 to 10
if a+b+c+d=10 and 3*a+5*b+8*c+10*d=60 then
print a,b,c,d
end if
next d
next c
next b
next a

Ohjelmointikieli on periaatteessa Basicia ja lukija voi syöttää sen esimerkiksi verkkosivulle http://www.compileonline.com/execute_basic_online.php ja ajaa. Tai sitten muuntaa helposti joksikin toiseksi kieleksi. Vähänkin ohjelmointia tuntevalle koodin merkitys selittyy vaivatta.

Ratkaisua voi luonnehtia raa'alla voimalla tehdyksi: käydään lävitse $11^4 = 14641$ mahdollisuutta, ja katsotaan, mitkä niistä toteuttavat yhtälöt.  Matemaattisesti ei kovin eleganttia, mutta menettelytapa, joka toimii, kun tietokone on riittävän nopea. Toki on helppoa löytää tehtäviä, joissa raaka voima ei riitä. Tällaisten näkökulmien oppiminen kuuluu mielestäni nykymaailman yleissivistykseen.

lauantai 31. toukokuuta 2014

Kulman kolmiajako, Internet, koulu ja ylioppilaskoe

Kulman jako kolmia: ns. merkitty viivoitin ja harppi
(http://matta.hut.fi/matta/geogebra/kulmanKolmiajako.html)
Ryhdyin selvittelemään kulman kolmiajaon historiaa. Ongelmahan on vanha, sitä pohdittiin jo antiikin Kreikassa, mutta lopullinen todistus harppi-viivoitin-konstruktion mahdottomuudesta on vasta 1800-luvulta.

Asiaa käsitteleviä dokumentteja löytyy netistä paljon, tietenkin.  Joukossa toki myös sellaisia, joissa väitetään löydetyn harppi-viivoitin-ratkaisu.  Kaikki eivät mahdottomuustodistusta usko tai ymmärrä, mitä harpin ja viivoittimen käytöllä tarkoitetaan. Netti on tuonut jotakin sellaista, mistä en omina opiskeluaikoinani osannut unelmoidakaan. Siihen aikaan oli jokunen kirja, jossa asiaa käsiteltiin, eikä niitäkään välttämättä saanut käsiinsä kovin helposti.

Pitäisikö tilanteen muuttumisen sitten jotenkin näkyä tämän päivän nuorison opiskelussa, esimerkiksi lukiossa? Ehkä pitäisi, mutta ei oikein näy. En tarkoita erityisesti kulman jakamista kolmeen yhtä suureen osaan. Vastaavia asioita on paljon muitakin. Jos lukiolainen ohjattaisiin tekemään laaja-alainen tutkielma jostakin tällaisesta aiheesta, miten paljon hän oppisikaan. Esimerkkitapauksessa kaari antiikista melkein nykyaikaan, geometrisen konstruktion luonne, kulman jaon ja polynomin nollakohtien välinen yhteys, Cardanon ja Vietan työt 1500-luvulla, millainen Eurooppa tuolloin oli, mikä sai heräämään kiinnostuksen polynomiyhtälöihin, erikielisten verkkolähteiden ja kirjallisuuden käyttö oman kielitaidon mukaan ja sitä kehittäen, tutkielman lopullinen kirjoittaminen viiteluetteloineen.  Vaativuutta olisi enemmän tai vähemmän tekijän taitojen ja kokemuksen mukaan.

En väitä, että tutkielmien ohjaaminen olisi helppoa. Opettajiltakin se vaatii paljon, eivätkä nykyiset resurssitkaan riittäisi. Silti ajatusta ei pidä hylätä. Kaikkea ei voi saada heti, mutta tähän suuntaan pitäisi edetä. Uusissa opetussuunnitelmakaavailuissa puhutaan teemaopinnoista.  Olisivatko ne jotakin tällaista? Olisiko tässä kyse siitä yleissivistävyydestä, jonka sanotaan olevan lukion tehtävä?

Ylioppilastutkinto ohjaa lukio-opetusta enemmän kuin mikään muu ja sekin on muuttumassa tavalla, jonka seurauksia on vaikea ennakoida. Tutkinnon sähköistäminen ja työkaluina käytettävät tietokoneohjelmat näyttävät pelottavan ainakin opettajia, ehkä myös oppilaita. Aihetta käsittelevät Facebook-keskustelut eivät hyvää lupaa: opettajakunta näyttää haluavan malleja tyyppitehtävistä ja tietoa siitä, mitä ohjelmistoista pitää opettaa.  Jossain mielessä ymmärrettävää, mutta tämän tien päästä löytyy ulkoa opeteltujen tyyppitehtävien ratkaiseminen vanhentuneita ohjelmistoja käyttäen. Aletaan olla aika kaukana yleissivistyksestä.

Ei ole helppoa sanoa, mitä pitäisi tehdä. Mieleen hiipii ajatus ylioppilastutkinnon poistamisesta. Lukiossa opiskeltaisiin, mitä missäkin halutaan, ja lopuksi pannaan valkoinen lakki päähän. Toisissa lukioissa opitaan paljon, toisissa kulutetaan aikaa. Varsinainen testi on jatko-opiskelun valintakokeissa. Ei hyvä näinkään, ainakin eriarvoisuus lisääntyy.

Onnittelut kuitenkin kevään ylioppilaille. Jos tuloksissa on edes yksi keskitasoinen tai parempi arvosana, onnittelut on myös ansaittu.

lauantai 10. toukokuuta 2014

Algebran peruslause ja GeoGebra

Lauseiden todistaminen on matematiikan kovaa ydintä. GeoGebran kaltaisista dynaamisen geometrian ohjelmista on tullut matematiikan opiskelun työkaluja. Olisiko näistä jotakin iloa lauseiden todistamisessa? Vahvimmillaan ne ovat eksperimentoinnissa, ideoiden hakemisessa ja sen etsimisessä, mikä saattaisi pitää paikkansa. Formaalin todistamisen välineitä ne eivät varsinaisesti ole, mutta hyvin lähelle todistusta voidaan päästä.

Erityisesti Pythagoraan lauseen todistusta on käsitelty moneen kertaan. Suosikkini on Jim Moreyn Java-sovelma, jolle tosin on käynyt kuten monille Java-sovelmille: Selain estää sen käytön turvallisuussyistä. Käyttäjä voi ottaa riskin (tässä tapauksessa vähäisen), avata Javan konfigurointivalikon (löytyy ainakin Windowsissa ohjelmavalikosta) ja sallia kyseisen palvelimen Java-sovelmien ajon.

Päätin itse kokeilla, onnistuisinko laatimaan visuaalisen todistuksen algebran peruslauseelle, siis tulokselle, jonka mukaan jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi nollakohta. Tulokset löytyvät verkkosivulta http://matta.hut.fi/matta/demot.html, jonka loppupäässä otsikon Kompleksianalyysi alla on kolme sovellusta aiheesta. Kaksi niistä on tehty Mathematicalla jo vuonna 2009 ja niiden heikkoutena on, että käyttäjän täytyy ladata koneelleen CDF Player, joka tosin on ilmainen.



GeoGebran käytön yleistyttyä päätin kokeilla, onnistuisiko vastaava myös sen työkaluilla. Ja onnistuihan se, tosin kohtalaisen sujuva siitä tuli vasta kollega Hannu Korhosen avustuksella. Tarjolla on em. sivulla sekä Java-sovelma että alkuperäinen ggb-tiedosto. Edellinen toimii selaimessa hieman tahmeasti, jälkimmäinen paremmin omassa koneessa GeoGebralla ajettuna.

Lukija voi miettiä, kelpuuttaisiko hän nämä matemaattisiksi todistuksiksi esimerkiksi oppikirjaan. Selvää minusta on, että pelkkä animaation tyyppinen toiminnallisuus ei riitä, ja siksi olenkin kirjoittanut dokumentteihin tekstin, joka ohjaa sovelman interaktiivisten ominaisuuksien käyttöön ja toivon mukaan panee ajatteluprosesseja liikkeelle.

Ilman ohjaavaa tekstiä olevia Java-sovelmia on paljon, ja usein on vaikeata päätellä, mikä niiden idea on ja mitä niillä oikeastaan pitäisi tehdä.

perjantai 4. huhtikuuta 2014

Pilvet ja oppimateriaalit


Kun aikoinaan alettiin puhua verkoista ja tietoyhteiskunnasta, varsin varhain syntyi ajatus opiskelumateriaalien saattamisesta verkkoon enemmän tai vähemmän vapaasti saataville. Ideana on usein ollut näiden hajautettu, enemmän tai vähemmän organisoitu tuottaminen. Eri ihmiset laativat materiaaleja omista lähtökohdistaan ja tuotokset annetaan yleiseen käyttöön. Ajan kuluessa erilaisia projekteja on syntynyt paljon.  Tekniikan kehittyminen on kerran toisensa jälkeen tuonut uusia mahdollisuuksia ja johtanut uudelle tasolle ainakin järjestelmien suunnittelussa, mutta ei lainkaan yhtä usein niiden toteuttamisessa.

Tällä hetkellä puhutaan pilvipalveluista. Materiaalit sijoitetaan jonnekin verkon syövereihin ja niihin päästään käsiksi portaalipalveluiden kautta. Opetus- ja kulttuuriministeriön käynnistymässä oleva Pilviväylä-hanke (http://www.minedu.fi/OPM/Koulutus/artikkelit/pilvivayla/) on eräs esimerkki. Jos rajoitutaan matematiikkaa käsitteleviin materiaaleihin, kannattaa ainakin mainita GeoGebraTube (http://www.geogebratube.org/), joka sisältää dynaamisen geometrian ohjelmalla GeoGebralla laadittuja demonstraatiofragmentteja. Toinen samantyyppinen on Wolfram Demonstrations Project (http://demonstrations.wolfram.com/), jossa työkaluna on laskentaohjelma Mathematica. Itse vedin kymmenkunta vuotta sitten Teknillisessä korkeakoulussa projektia nimeltään MatTaFi, jossa usea yliopisto ja ammattikorkeakoulu pyrki tuottamaan materiaalia matematiikan peruskursseille. Tuotosten jäänteet ovat sivulla http://matta.hut.fi/matta/.

Kaikissa näissä tuotantotapa on hajautettu: Useat henkilöt tekevät materiaaleja yleensä oman opetuksensa tarpeisiin ja antavat ne muidenkin käyttöön. Lisenssiehdot vaihtelevat eikä niitä aina edes kerrota.

Löyhän yhteisön tekemään työhön pohjautuvista projekteista on loistavia esimerkkejä, ennen muita Linux ja Wikipedia. Aivan organisoitumattomia nämä eivät ole: jonkinlaisia master-tason yksilöitä tarvitaan. Kumpikaan näistä ei kuitenkaan ole oppimateriaali, vaikka niiden avulla paljon voikin oppia. Miltä sitten varsinaiset oppimateriaalihankkeet näyttävät?

Hajautettu tuotantotapa, jossa materiaalia tehdään oman opetuksen tarpeisiin, johtaa herkästi irrallisiin ja viimeistelemättömiin, usein aika pieniin palasiin. Tekijällä itsellään on mielikuva tavasta, jolla tuotosta kannattaa käyttää, mutta sitä ei ole dokumentoitu eikä tarvittavia oheistekstejä ole jaksettu kirjoittaa. Tuotoksen hiominen on jäänyt kesken: potentiaalinen käyttäjä ei näe sen ideaa ja käyttö kaatuu herkästi epäloogisuuksiin ja ohjelmointivirheisiin.

Palaset saattavat olla osia laajassa kokoelmassa. Määrää on enemmän kuin laatua. Helmiä pitää etsiä heinäsuovasta ja helmen laadun toteaminen vaatii paljon työtä. Lisäarvo staattiseen kuvaan verrattuna voi olla vähäinen.  Lukija voi katsoa, mitä on tarjolla, kun GeoGebraTubelle syöttää hakusanan derivaatta (tai derivative), tai Wolframin demonstraatioille hakusanan integral.

Jotta demonstraatioista jotakin oppisi, niitä ei saisi katsella kuin interaktiivista videota ajatuksettomasti pomppimisia ja vilkkumisia seuraten.  Olisiko opiskelijan ehkä sittenkin parempi valmiin katselemisen sijasta opetella hieman ohjelmointia ja rakentaa oma demonstraationsa?

Materiaalipalojen integroiminen opiskeluohjelmaan ei ole helppoa.  Olennaistahan ei ole, että opiskelija näkee kaikenlaista, vaan tavoitteena tulisi olla oman tietorakenteen synnyttäminen ja jonkintasoisen kokonaiskuvan saaminen. Tällaiseen on sitten helpompi kiinnittää irrallisiakin demonstraatioita. Kaikki materiaalit eivät toki olekaan irrallisia paloja, vaan olemassa on myös laajoja oppikirjaan rinnastuvia kokonaisuuksia, joissa demonstraatiot ovat osa kokonaisuutta luonnollisella paikalla.

Materiaalikokonaisuuksien laatiminen on kuitenkin aika rankka työ.  Projektissani laadittu lukiotasoinen matematiikan tietosanakirja Iso-M (http://matta.hut.fi/matta/isom/isom.pdf) on esimerkki tällaisesta, vaikka se ei demonstraatioita sisälläkään. Differentiaaliyhtälöpaketti DelTa (http://matta.hut.fi/matta/delta/delta.html) on toinen tällainen, mutta se alkaa olla teknisesti vanhentunut. Uudempina esimerkkeinä lukija voi tarkastella suomalaisen Avoin Oppikirja -projektin tuotoksia (http://avoinoppikirja.fi/) tai amerikkalaisen MIT:n (Massachusetts Institute of Technology) MOOC (Massive Open Online Course) -kursseja (http://ocw.mit.edu/courses/find-by-topic/#cat=mathematics).

Digitaalisten materiaalien tuottaminen tarkoittaa loputtomaan päivityskierteeseen sitoutumista. Tuotosta voi aina parantaa, ja viimeistään tekniikan kehittyminen pakottaa uusien versioiden tekemiseen tai tehdyn materiaalin hylkäämiseen. Vanhahtavalta näyttävä opiskelumateriaali ei innosta, vaikka se olisi sisällöllisesti pätevääkin. Kaikki tekniset ratkaisut eivät välttämättä toimi uudemmissa laitteissa.

Toimivat pilvipalvelut edellyttävät hyvien hakumenettelyjen ja materiaalin arvioinnin lisäksi jonkinlaista ohjausta sen pedagogiseen käyttöön.  Tekijänoikeuksien hallinta on oma ongelmansa: kuka saa käyttää, mitä ja miten saa käyttää, voiko toisen tekemää materiaalia integroida uuteen tuotokseen, mistä ja miten tulee maksaa etc.

Oppimateriaalipilvipalvelun luominen ei siten ole aivan helppoa.  Esimerkkejä kesken jääneistä, alunperin hyvistäkin yrityksistä on paljon.  Jos kaikki ongelmat yritetään ratkaista heti, ei ehkä päästä liikkeelle lainkaan. Kyseessä on kuitenkin sen verran iso kala, että sitä kannattaa pyytää — vaikka saalista ei sitten tulisikaan. Opitaan ainakin välttämään huonoja toteutustapoja.

lauantai 22. helmikuuta 2014

Polaariteoriaa ja tietokonealgebraa

Olin vuonna 1991 Itävallan Oberlechissa IBM:n järjestämässä seminaarissa, jossa tarkasteltiin symbolisten laskentaohjelmien tarjoamia mahdollisuuksia ja jossa julkistettiin myös IBM:n parikymmentä vuotta jatkuneen Scratchpad-projektin tuotos, laskentaohjelma Axiom.

Axiomin oli tarkoitus olla aikakauden suurin ja kaunein, lähes kaiken abstraktinkin algebran kattava laskentatyökalu. Aivan tätä siitä ei tullut.  Axiom oli raskas, ja varsin pian Mathematica ja Maple ajoivat siitä ohi helppokäyttöisyydessä, joskaan ei kattavuudessa. Kaupallista menestystä ei tullut, ja joidenkin vuosien kuluttua IBM luopuikin Axiomista. Se on edelleen olemassa ja sen voi kopioida itselleen vapaasti (http://www.axiom-developer.org/).  Kehitystäkin lienee tapahtunut.

Oberlechin seminaarissa syötiin hyvin ja illallisilla puhuttiin varsin paljon asiaakin. Ehdotin eräänä iltana Axiomin sievennysalgoritmien testaamista seuraavalla polaariteoriaan liittyvällä ongelmalla.

Olkoon $c$ toisen asteen tasokäyrä, ts. kartioleikkaus, yhtälönä
\[
ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0
\]
ja $P = (x_0,y_0)$ jokin piste. Asetetaan $P$:n kautta suora $s$, joka leikkaa kartioleikkausta kahdessa pisteessä, $A$ ja $B$. Olkoon $Q$ sellainen suoran $s$ piste, että pisteet $P$ ja $Q$ jakavat janan $AB$ samassa suhteessa, toinen sisäpuolisesti ja toinen ulkopuolisesti. Kun suoraa $s$ käännetään pisteen $P$ ympäri, piste $Q$ liukuu pitkin suoraa $p$, jota kutsutaan pisteen $P$ polaariksi kartioleikkauksen $c$ suhteen.

Polaariteoriassa osoitetaan — itse asiassa varsin yksinkertaisesti — että polaarin yhtälö on
\[
ax_0 x + by_0 y + cx_0 y + cy_0 x + d x + e y + dx_0 + ey_0 + f = 0.
\]

Mikäli piste $P$ sijaitsee siten, että siitä voidaan asettaa tangentit käyrälle $c$, samaan tulokseen päästään alkeellisesti: määrätään tangenttien kulmakertoimet siten, että suoran $s$ ja käyrän $c$ leikkauspisteet yhtyvät, ts. vaaditaan, että syntyvän toisen asteen yhtälön diskriminantti on $= 0$. Tällöin saadaan määrätyksi sivuamispisteet $T_1$ ja $T_2$. Polaari on näiden kautta kulkeva suora.

Jos kertoimet ovat numeerisia, lasku on yksinkertainen. Jos tarkastellaan yleistä tapausta, jossa kertoimet ovat symboleja, lasku on vaativa. Kiintoisaa on, että se on pätevä myös, jos piste $P$ sijaitsee siten, että em. tangentteja ei voida asettaa. Kulmakertoimet ovat tällöin kompleksisia. Tällä tavoin tehtynä kyseessä on polaarin yhtälön johtaminen raa'alla voimalla.

Tätä lähdettiin koettamaan Oberlechin illallisen päätyttyä. Axiom oli tuolloin nuori ja luteinen, ja yritys päättyi systeemin kaatumiseen ennen kuin oli oikeastaan päästy edes alkuun. Ei siitä sen enempää. Kokeilin noihin aikoihin myös, miten Mathematica selviää tehtävästä. Ei selvinnyt ainakaan sinä aikana, jonka jaksoin odottaa.

Ongelma on kuitenkin mielestäni hyvä symbolisten laskentaohjelmien testaamiseen.  Paitsi vaativaa sieventämistä testissä paljastuu myös, miten helppoa ohjelmassa on käyttää edellisten laskuvaiheiden tuloksia seuraavien lähtötietoina syöttämättä niitä uudelleen. Jokin aika sitten mieleeni tuli kokeilla, olisiko Mathematica kehittynyt riittävästi runsaassa kahdessakymmenessä vuodessa. Ei mennyt kauankaan, kun oikea tulos tuli. Maailma on siis ainakin jossakin suhteessa tullut paremmaksi.

Minulla ei ole koneessani Axiomia tai Maplea, joten en pääse kokeilemaan niitä.  GeoGebrassakin on symbolilaskenta, mutta sen mahdollisuuksiin en oikein usko.  (Se on sen verran kömpelökin, että en jaksa kokeilla.) Jos joku haluaa testata näitä tai muitakin symbolilaskennan ohjelmistoja, odotan tuloksia mielenkiinnolla.

keskiviikko 5. helmikuuta 2014

Ovatko kaikki funktiot derivoituvia?

Tarkastin aikoinani matematiikan ylioppilaskokeita. Mieleeni on jäänyt paperi, jonka alkuun kokelas oli kirjoittanut 'Kaikki esiintyvät funktiot ovat jatkuvia ja derivoituvia.' Hän hoiteli kerralla perustelun, joka yleisen näkemyksen mukaan on ylioppilastehtävissä välttämätön. Useinhan ajatellaan, että pisteitä saattaa mennä, jos esimerkiksi jättää pois maininnan polynomin derivoituvuudesta. Ei lautakunta kuitenkaan pilkun viilausta aivan näin pitkälle vienyt. Opettajat olivat usein paavillisempia.

Kokelaan huomautuksesta olisi tietenkin oikeastaan pitänyt sakottaa.  Tehtävissä tarvittiin myös itseisarvoja, ja itseisarvofunktiohan ei ole derivoituva origossa. En kuitenkaan ryhtynyt viilaamaan pilkkuja.

Millainen käsitys sitten lukiolaisella on ja ylipäätään voi olla funktiosta, joka ei ole derivoituva? Itseisarvo varmaan sopii esimerkiksi, paloittan määriteltyjä funktioita on myös tarjolla. Funktio $x\sin(1/x)$ lienee jo harvemmin käsitelty. Tiedossa on yleensä vain esimerkkejä, jotka ovat selviä tapauksia ja sellaisina ongelmattomia. Paljonko sitten kannattaa tuhlata ruutia derivoituvuuden pohdiskeluun? Vai voitaisiinko todeta, että kaikki esiintyvät funktiot ovat derivoituvia mahdollisesti joitakin ongelmapisteitä lukuunottamatta?

Vaihtoehtona saattaisi olla jonkin kunnollisen patologisen esimerkin käsittely. Tällainen voisi olla vaikkapa Takagin funktio, jonka japanilainen matemaatikko Teiji Takagi (http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Takagi.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Teiji_Takagi) esitti vuonna 1903. Funktion kuvaaja tunnetaan myös nimellä blancmange-käyrä, mutta blancmange ei ole matemaatikon nimi vaan syötävää (ks. vaikkapa http://www.berkshiredollshousecompany.com/acatalog/info-BDHFD00014.html).

Takagin funktio $t(x)$ ei ole missään derivoituva, vaikka se onkin jatkuva.  Se siis kelpaa patologiseksi esimerkiksi. Funktio määritellään seuraavasti:
\begin{align*}s(x) &= \min\{|x-n| \mid n \in \mathbb{Z}\}, \\t(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{s(2^k x)}{2^k}.
\end{align*}
Funktio $s$ on sahanteräfunktio ja funktion $t$ termit muodostuvat yhä tiheämpihampaisista sahanteristä.


Sarjan kolme ensimmäistä termiä
Takagin funktio

Vaikka yhä tiheämmiksi käyvät sahanterän kärkipisteet synnyttävätkin epäilyn siitä, että derivoituvuus saattaisi olla ongelmallinen, ei kuvaaja kuitenkaan kovin risaiselta näytä. Kaivataan siis tarkempaa analyysia ja todistusta. Ensinnäkin sarja täytyy todeta suppenevaksi ja sen rajafunktio jatkuvaksi. Tämän jälkeen joudutaan miettimään erotusosamäärän raja-arvoa mielivaltaisesti valitussa pisteessä $x$ ja näyttää, että tätä ei ole. Saattaisi olla vaikeanpuoleinen harjoitustehtävä yliopisto-opiskelijalle, mutta kuvia voi tietenkin katsella vähemmilläkin taidoilla.

Verkkolähteistä en todistusta ainakaan äkkiä löytänyt. Omassa hyllyssäni on saksalainen kunnianhimoinen Konrad Königsbergerin analyysin oppikirja, jossa todistus on, tosin hieman eri tavoin määritellylle funktiolle.  Ideana on tarkastella nollaa kohden suppenevaa sopivasti valittua jonoa $<h_n>$ ja osoittaa, että erotusosamäärällä
\[\frac{t(x + h_n) - t(x)}{h_n}\]
ei ole raja-arvoa.

Esimerkki tuo epäilemättä uutta valoa derivoituvuuden ongelmaan, mutta olisiko silti niin, että tällainen patologia ei ole keskeistä yleissivistyksessä ja lukio-opiskelussa?

maanantai 13. tammikuuta 2014

PISAn pohja

Loppuvuonna PISA-tuloksista käyty keskustelu sai minut huomaamaan, että enhän oikeastaan tiedä, millaiseen opetukseen tulokset pohjautuvat.  Mitä ja miten peruskoulussa oikein opetetaan? Pyysin eräältä kustantajalta luokkien 6–9 kirjat tutkittavakseni ja sainkin ne juuri joulun alla.  Kiitokset kustantajalle.

Nyt on sitten kirjat luettu. Olen hämmentynyt enkä enää ihmettele, miksi matematiikka ei kiinnosta ja miksi perusasioita ei osata lukioon tultaessa, vaikka PISAssa kohtuullisen hyvin on osattukin. PISA-taidot kyllä saadaan, mutta muutoin opiskelu varmaan on kuin rämpisi hakkuutyömaan risukossa: kyllä siitä läpi pääsee, mutta ei se hauskaa ole eikä mitään kokonaiskuvaa synny.

Myönnän, että en ole koskaan opettanut peruskoulussa, vaikka matematiikkaa muutoin olenkin työnäni (ja vähän harrastuksenanikin) opettanut. Minusta ei kuitenkaan peruskoulussakaan matematiikasta pitäisi tehdä mahdollisimman tylsää, sekavaa ja kaavamaista, jotakin, mitä ei voikaan ymmärtää. Toki se, että peruskoulussa on koko ikäluokka, asettaa omat vaatimuksensa. Oppikirja voisi kuitenkin tukea selkeän näkemyksen syntymistä ja näyttää mistä asiat johtuvat. Se voisi myös pyrkiä olemaan referenssi, johon oppilas voi myöhemminkin palata. Tämä tosin edellyttää, että käytettyjä kirjoja ei kerätä oppilailta pois.

En ymmärrä, minkä takia oppikirja pyrkii samalla olemaan opettajan tuntisuunnitelma. Eikö opettaja osaa suunnitella tuntejaan ja kurssejaan itsekin?  Mahdollisesti ottaen huomioon oppilaittensa edistymisen? Tarkoitushan kai on, että opitaan mahdollisimman paljon, kukin edellytystensä mukaan, ei se, että laukataan opetussuunnitelma läpi.

Peruskoulua on kritisoitu spiraaliperiaatteesta. En oikein tiedä, mitä tällä tarkoitetaan, mutta saman asian vatvominen kerta toisensa jälkeen — kirjassa — ei minusta tunnu tarkoituksenmukaiselta. Kertaaminen on varmasti tarpeen eri ryhmissä eri laajuudessa, mutta eikö tällöin olisi luontevampaa palata aikaisempaan esitykseen, jolloin oppilaillekin syntyy tunne, että tämä oikeastaan pitäisi jo osata. Vastuu oppimisesta on ensisijaisesti oppijalla, vaikka tämäkin on asia, johon pitää vähitellen oppia, eikä peruskoululaiselta pidä liikaa vaatia.

Kirjoja lukiessa tulee tunne, että käytettävän ajan puitteissa enempikin olisi mahdollista ainakin osalle oppilaista. Peruskoulua on syytetty tasapäistamisestä, mutta toisaalta eriyttääkin pitäisi. En tiedä, ovatko irralliset puolihauskat pikkutiedot vastaus eriyttämistarpeeseen. Voisin kuvitella, että parempiakin vaihtoehtoja olisi.

Matematiikan opetuksen helmasynteihin luetaan usein julistuksenomaisuus. Sanotaan, että näin on, tee näin, mutta minkäänlaisia perusteita ei esitetä. Kuitenkin peruskoulumatematiikassa on varsin vähän asioita, joille ei voitaisi esittää ainakin jollakin tavoin ymmärrettävää perustelua tai edes ajattelutapaa. Vähittäinen kasvaminen loogiseen ajatteluun ja päättelemiseen sisältyy myös opetussuunnitelman perusteisiin. Kaavojen ja menettelytapojen ulkoaopettelu antaa väärän kuvan matematiikasta eikä vie eteenpäin. Ulkoa opetellut menettelytavat saattavat myöhemmin jopa olla haitallisia, jos niiden taustoja ei ymmärretä.

En aio yksityiskohtaisesti puuttua lukemani kirjasarjan ongelmiin, mutta yksi asia lienee syytä nostaa esiin. Määrittelyt ja asioiden tiivistykset eivät saisi olla siten muotoiltuja, että lausumalla on oikean tulkinnan lisäksi myös ainakin asiaa tuntemattomalle mahdollinen väärä tulkinta. Kyse on kielenkäytöstä eikä tämäntyyppinen monimerkityksisyys ole muuallakaan harvinaista. Viimeistään kustannustoimittajan pitää olla tarkka.

Olen ollut aika kriittinen. Ehkä pitää lukea jokin toinenkin kirjasarja ja katsoa, millaisia eroja on. Hyvä opettajakin tietenkin korvaa oppikirjan puutteet ja viat.  Pelkään vain, että tuntisuunnitelman muotoon kirjoitettu oppikirja ei juurikaan houkuttele opettajaa oman näkemyksensä toteuttamiseen ja kehittämiseen. Voisiko oppikirja olla suppeampi ja sisältää vain tiiviin asian ja tehtäväkokoelman?  Tulisi yhteiskunnallekin halvemmaksi. Tosin lienee vastoin kustantajan liikeideaa.

En panisi pahaksi, jos joku pedagogi tai kirjantekijä haluaisi kirjoittaa vastineen.  Asia on minusta keskustelun arvoinen.