lauantai 31. toukokuuta 2014

Kulman kolmiajako, Internet, koulu ja ylioppilaskoe

Kulman jako kolmia: ns. merkitty viivoitin ja harppi
(http://matta.hut.fi/matta/geogebra/kulmanKolmiajako.html)
Ryhdyin selvittelemään kulman kolmiajaon historiaa. Ongelmahan on vanha, sitä pohdittiin jo antiikin Kreikassa, mutta lopullinen todistus harppi-viivoitin-konstruktion mahdottomuudesta on vasta 1800-luvulta.

Asiaa käsitteleviä dokumentteja löytyy netistä paljon, tietenkin.  Joukossa toki myös sellaisia, joissa väitetään löydetyn harppi-viivoitin-ratkaisu.  Kaikki eivät mahdottomuustodistusta usko tai ymmärrä, mitä harpin ja viivoittimen käytöllä tarkoitetaan. Netti on tuonut jotakin sellaista, mistä en omina opiskeluaikoinani osannut unelmoidakaan. Siihen aikaan oli jokunen kirja, jossa asiaa käsiteltiin, eikä niitäkään välttämättä saanut käsiinsä kovin helposti.

Pitäisikö tilanteen muuttumisen sitten jotenkin näkyä tämän päivän nuorison opiskelussa, esimerkiksi lukiossa? Ehkä pitäisi, mutta ei oikein näy. En tarkoita erityisesti kulman jakamista kolmeen yhtä suureen osaan. Vastaavia asioita on paljon muitakin. Jos lukiolainen ohjattaisiin tekemään laaja-alainen tutkielma jostakin tällaisesta aiheesta, miten paljon hän oppisikaan. Esimerkkitapauksessa kaari antiikista melkein nykyaikaan, geometrisen konstruktion luonne, kulman jaon ja polynomin nollakohtien välinen yhteys, Cardanon ja Vietan työt 1500-luvulla, millainen Eurooppa tuolloin oli, mikä sai heräämään kiinnostuksen polynomiyhtälöihin, erikielisten verkkolähteiden ja kirjallisuuden käyttö oman kielitaidon mukaan ja sitä kehittäen, tutkielman lopullinen kirjoittaminen viiteluetteloineen.  Vaativuutta olisi enemmän tai vähemmän tekijän taitojen ja kokemuksen mukaan.

En väitä, että tutkielmien ohjaaminen olisi helppoa. Opettajiltakin se vaatii paljon, eivätkä nykyiset resurssitkaan riittäisi. Silti ajatusta ei pidä hylätä. Kaikkea ei voi saada heti, mutta tähän suuntaan pitäisi edetä. Uusissa opetussuunnitelmakaavailuissa puhutaan teemaopinnoista.  Olisivatko ne jotakin tällaista? Olisiko tässä kyse siitä yleissivistävyydestä, jonka sanotaan olevan lukion tehtävä?

Ylioppilastutkinto ohjaa lukio-opetusta enemmän kuin mikään muu ja sekin on muuttumassa tavalla, jonka seurauksia on vaikea ennakoida. Tutkinnon sähköistäminen ja työkaluina käytettävät tietokoneohjelmat näyttävät pelottavan ainakin opettajia, ehkä myös oppilaita. Aihetta käsittelevät Facebook-keskustelut eivät hyvää lupaa: opettajakunta näyttää haluavan malleja tyyppitehtävistä ja tietoa siitä, mitä ohjelmistoista pitää opettaa.  Jossain mielessä ymmärrettävää, mutta tämän tien päästä löytyy ulkoa opeteltujen tyyppitehtävien ratkaiseminen vanhentuneita ohjelmistoja käyttäen. Aletaan olla aika kaukana yleissivistyksestä.

Ei ole helppoa sanoa, mitä pitäisi tehdä. Mieleen hiipii ajatus ylioppilastutkinnon poistamisesta. Lukiossa opiskeltaisiin, mitä missäkin halutaan, ja lopuksi pannaan valkoinen lakki päähän. Toisissa lukioissa opitaan paljon, toisissa kulutetaan aikaa. Varsinainen testi on jatko-opiskelun valintakokeissa. Ei hyvä näinkään, ainakin eriarvoisuus lisääntyy.

Onnittelut kuitenkin kevään ylioppilaille. Jos tuloksissa on edes yksi keskitasoinen tai parempi arvosana, onnittelut on myös ansaittu.

lauantai 10. toukokuuta 2014

Algebran peruslause ja GeoGebra

Lauseiden todistaminen on matematiikan kovaa ydintä. GeoGebran kaltaisista dynaamisen geometrian ohjelmista on tullut matematiikan opiskelun työkaluja. Olisiko näistä jotakin iloa lauseiden todistamisessa? Vahvimmillaan ne ovat eksperimentoinnissa, ideoiden hakemisessa ja sen etsimisessä, mikä saattaisi pitää paikkansa. Formaalin todistamisen välineitä ne eivät varsinaisesti ole, mutta hyvin lähelle todistusta voidaan päästä.

Erityisesti Pythagoraan lauseen todistusta on käsitelty moneen kertaan. Suosikkini on Jim Moreyn Java-sovelma, jolle tosin on käynyt kuten monille Java-sovelmille: Selain estää sen käytön turvallisuussyistä. Käyttäjä voi ottaa riskin (tässä tapauksessa vähäisen), avata Javan konfigurointivalikon (löytyy ainakin Windowsissa ohjelmavalikosta) ja sallia kyseisen palvelimen Java-sovelmien ajon.

Päätin itse kokeilla, onnistuisinko laatimaan visuaalisen todistuksen algebran peruslauseelle, siis tulokselle, jonka mukaan jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi nollakohta. Tulokset löytyvät verkkosivulta http://matta.hut.fi/matta/demot.html, jonka loppupäässä otsikon Kompleksianalyysi alla on kolme sovellusta aiheesta. Kaksi niistä on tehty Mathematicalla jo vuonna 2009 ja niiden heikkoutena on, että käyttäjän täytyy ladata koneelleen CDF Player, joka tosin on ilmainen.



GeoGebran käytön yleistyttyä päätin kokeilla, onnistuisiko vastaava myös sen työkaluilla. Ja onnistuihan se, tosin kohtalaisen sujuva siitä tuli vasta kollega Hannu Korhosen avustuksella. Tarjolla on em. sivulla sekä Java-sovelma että alkuperäinen ggb-tiedosto. Edellinen toimii selaimessa hieman tahmeasti, jälkimmäinen paremmin omassa koneessa GeoGebralla ajettuna.

Lukija voi miettiä, kelpuuttaisiko hän nämä matemaattisiksi todistuksiksi esimerkiksi oppikirjaan. Selvää minusta on, että pelkkä animaation tyyppinen toiminnallisuus ei riitä, ja siksi olenkin kirjoittanut dokumentteihin tekstin, joka ohjaa sovelman interaktiivisten ominaisuuksien käyttöön ja toivon mukaan panee ajatteluprosesseja liikkeelle.

Ilman ohjaavaa tekstiä olevia Java-sovelmia on paljon, ja usein on vaikeata päätellä, mikä niiden idea on ja mitä niillä oikeastaan pitäisi tehdä.