keskiviikko 26. marraskuuta 2014

Lukiomatematiikan aloitus

Valtioneuvosto sai lopulta päätetyksi lukion tuntijaosta. Kovin paljon muutoksia ei tullut.  Ehkä on hyväkin, että suuria muutoksia ei tehdä, ennen kuin on nähty, mitä sähköisistä ylioppilaskirjoituksista tulee. Uusien opetussuunnitelmien teko voi nyt alkaa, ja ne otetaan käyttöön syksyllä 2016.

Joitakin merkittäviä muutoksia kuitenkin tapahtui: kolme syventävää teemaopintojen kurssia sekä pitkän ja lyhyen matematiikan yhteinen aloituskurssi. Teemaopintojen kurssien aihepiirit eivät risteä muiden kurssien kanssa, eikä niiden suunnittelu kireän aikataulun puitteissa tuottane ylivoimaisia vaikeuksia.

Matematiikan yhteisen aloituskurssin osalta tilanne on toinen. Ei ole selvää, mitä kurssin pitäisi sisältää, ja toteutustavasta riippuen vaikutus muihin matematiikan kursseihin voi olla suurikin. Jos aika loppuu kesken, on tyydyttävä pikaisesti tehtyyn hätäratkaisuun.  Kyseessä on uhka matematiikan osaamiselle. Huolellisesti tehty uudistus sen sijaan antaisi mahdollisuuden tilanteen parantamiseen.

Helppoja hätäratkaisuja ovat ainakin seuraavat:

Peruskoulumatematiikan kertauskurssi, jossa sisällöllisesti ei ole uutta. Tällainen on tarpeen osalle opiskelijoista, mutta peruskoulumatematiikkansa osaaville se on hyödytön ja hukkaan heitettyä aikaa. Innostava se tuskin on kenellekään.

Laskinkurssi, jossa opetellaan käyttämään jotakin laskinta tai tietokoneohjelmaa ja kerrataan sen avulla peruskoulun matematiikkaa. Laskimen työvälinekäyttöä on kuitenkin vaikeata oppia ilman riittävää substanssia. Leimautuminen laskinkurssiksi merkitsee keskittymistä nappulatekniikkaan, joka kaikista lukion asiasisällöistä vanhenee nopeimmin.

Jokin nykyisistä kursseista siirretään aloituskurssiksi. Tällainen voisi olla tilastoja ja todennäköisyyttä käsittelevä kurssi tai kooste nykyisten ensimmäisten kurssien asiasisällöistä. Kumpikaan vaihtoehto ei anna oikeaa kuvaa siitä, mitä matematiikka on, eikä auta valinnassa.

Kokonaan uuden aloituskurssin rakentaminen ei ole helppoa. Lähtökohtana pitäisi olla lyhyen ja pitkän matematiikan välillä valitsemisen helpottaminen, mutta samalla jonkin uuden oppiminen unohtamatta varsin monen tarvitsemaa peruskoulumatematiikan kertausta. Samalla tulisi kehittyä jonkinlainen näkemys matematiikan merkityksestä ja käyttökelpoisuudesta.  Julistuksenomainen tieto ei aina aloittelevalle lukiolaiselle riitä eikä sen oikeastaan pidäkään riittää.

Teen ehdotuksen: Yhteinen aloituskurssi rakennetaan matematiikan ehkä merkityksellisimmän käsitteen, funktion varaan. Määrittelyn jälkeen esimerkkeinä peruskoulusta tuttuja lineaarisia funktioita ja polynomeja, mutta myös mutkikkaampia lausekkeita ja laskimessa esiintyviä funktioita (trigonometriaa, eksponenttifunktio, jopa käänteisfunktion käsite), yhtälöitä ja epäyhtälöitä, kaksi- ja kolmiulotteiset koordinaatistot. Käsittelyn pohjana manuaalinen sieventäminen, graafiset esitykset käsin ja laskimella tehtyinä, ei niinkään asioiden todistaminen.

Riittävän funktiokokoelman hahmottaminen antaa mahdollisuuden kurkistaa joihinkin matematiikan sovelluksiin reaalimaailmassa ja nähdä jotakin matematiikan käyttökelpoisuudesta.  Laskimien (tai tietokoneiden) käyttöön työvälineinä opitaan, jolloin niiden hyödyntäminen myös koulun ulkopuolisessa elämässä on luonnollista.

Ongelmana on, että kurssi väistämättä vaikuttaa myös muihin kursseihin, jotka pitää muokata vastaavasti. Tarvitaan laajempi opetussuunnitelman uudistus, aidosti uudet kirjat ja opettajillekin aikaa perehtyä muutokseen.

Syksy 2016 on liian pian. Ehkä kuitenkin kannattaisi mieluummin tähdätä harkittuun uudistukseen eikä hyväksyä hätäratkaisua.

keskiviikko 12. marraskuuta 2014

Prinssi Rupert ja GeoGebra

Ruprecht von der Pfalz, englantilaisittain Prince Rupert of the Rhine, Duke of Cumberland, eli 1600-luvulla ja osallistui moniin vuosisadan kärhämiin. Sotilasuran lisäksi hän harrasti monia asioita: taiteita, luonnontieteitä, matematiikkaa jne.

GeoGebra puolestaan on ns. dynaamisen geometrian ohjelmisto, joka on tarkoitettu geometrian opetus- ja opiskeluvälineeksi ja joka on saavuttanut kasvavaa suosiota peruskoulun ja lukion opettajien keskuudessa monessa maassa, myös Suomessa.

Miten nämä kaksi sitten kohtaavat?

Ruprecht von der Pfalz esitti aikoinaan geometrisen ongelman: Onko mahdollista työstää kuutioon sellainen reikä, että toinen samankokoinen kuutio voidaan työntää siitä läpi? Jos voidaan, niin voisiko läpi työnnettävä kuutio olla jopa isompi?  Miten paljon isompi? Ongelma on täydelleen ratkaistu — voidaan — 1700-luvulla ja sitä on käytetty harjoitustehtävänä monilla deskriptiivisen geometrian kursseilla.  Ei kuitenkaan ole aivan helppoa muodostaa mielikuvaa kuutiosta reikineen.

GeoGebraan on melko hiljattain lisätty työkalut kolmiulotteisen geometrian käsittelyyn.  Kuvaa Ruprechtin reiällisestä kuutiosta saattaisi siis olla mahdollista yrittää muodostaa GeoGebran avulla.

Olen joskus 80-luvulla käyttänyt CATIA-nimistä tietokoneavusteisen suunnittelun ohjelmaa (CAD = Computer Aided Design), joka oli (ja on edelleenkin) täysin kolmiulotteinen. Sillä on suunniteltu erilaisia kolmiulotteisia esineitä kuten laskettelumonoja, Renault-autoja, Mirage-suihkuhävittäjiä ym.  Kokeilin tuolloin Ruprechtin reikäkuution mallintamista, ja CATIAn työkalut riittivät erinomaisesti. Niinpä ajattelin testata GeoGebran mahdollisuuksia, vaikka se toki onkin tarkoitettu hieman vaatimattomampaan käyttöön.

Aika pitkälle pääsin. Reiällinen kuutio on kuvassa vihreällä, keltainen särmiö osoittaa kanavaa, jota pitkin toinen kuutio pitää työntää. Vihreä kuutio reikineen saataisiin näiden kappaleiden joukko-opillisena erotuksena, mutta sopivia työkaluja ei GeoGebrassa ainakaan vielä ole. Voi olla, ettei aivan pian tulekaan ainakaan täydessä yleisyydessä.  Sen verran vaativa ongelma on kyseessä.

Osallistuin loka-marraskuun vaihteessa Ylöjärvellä pidettyyn pohjoismaiseen (ja Baltian kattavaan) GeoGebra-konferenssiin ja esittelin siellä kokeiluni. Kirjoitin esityksestäni myös lyhyen nettiartikkelin: http://matta.hut.fi/matta/geogebra/rupert.html. Tämä sisältää animoitavat GeoGebra-mallit, joiden avulla voi kokeellisesti tutkia myös mahdollisuutta työntää suurempi kuutio reiästä läpi. Nämä eivät välttämättä edellytä GeoGebran asentamista.