sunnuntai 20. joulukuuta 2015

Joulutehtävä

Lämmitänpä uudelleen joulunpyhien ratoksi tehtävän, jonka tein TKK:n matematiikan laitoksen joulujuhliin kymmenkunta vuotta sitten. Annettuna on seitsemän kahden muuttujan funktiota ja näiden kuvaajat. Tehtävänä on löytää oikeat parit, ts. mikä on minkin funktion kuvaaja.

Kuvaajat ovat hieman totutusta poikkeavassa muodossa. Yksi näistä on esimerkkinä tämän jutun alussa. Kaikki löytyvät gif-kuvina seuraavista linkeistä:


Funktiot puolestaan ovat

  • a) $x^2 + \tfrac{1}{2}y^2$
  • b) $x^2 - y^2$
  • c) $\dfrac{xy}{x^2 + y^2}$
  • d) $\sin x \sin y$
  • e) $\cos\sqrt{x^2 + y^2}$
  • f) $\arctan(y/x)$
  • g) $\text{Re}(\arcsin(x + iy))$

Kuvaajat ovat ns. single image stereogram -kuvia, joissa stereoparin eri silmille tarkoitetut kuvat on pakattu samaan kuvaan. Kuvissa katsotaan tavanomaista kuvaajaa, ts. pintaa $z = f(x,y)$ positiivisen z-akselin suunnasta. Oikealla tavalla katsottuna kuva hahmottuu kolmiulotteiseksi.

Kuvat kannattanee tulostaa paperille. Periaatteessa ruudulta katsominenkin voi onnistua, mutta on hankalampaa. Kolmiulotteinen vaikutelma syntyy, kun kuvaa katsoo siten, että katse on suunnattu kaukaisuuteen. Itse katson näitä tuomalla kuvan ensin hyvin lähelle ja rentouttamalla tällöin silmät.  Kun sitten siirrän kuvaa kauemmaksi yrittämättä nähdä sitä tarkasti, aivot osaavatkin jossain vaiheessa yhdistää eri silmien kuvat ja kolmiulotteinen vaikutelma syntyy. Tämän jälkeen katsetta voi käännelläkin ilman, että vaikutelma katoaa. Harjoittelu auttaa.

Kuvan yläreunassa kehyksen ulkopuolella on kaksi pistettä, jotka läheltä katsottaessa näkyvät neljänä. Kahden keskimmäisen tulisi sulautua yhteen kolmiulotteisuuden syntyessä.

Kuvat on tehty Mathematicalla käyttäen valmista koodia, tekijänä Roman Maeder. Tämä on Mathematican version 2 mukainen ja tarvitsee pientä korjailua toimiakseen nykyisessä versiossa 10. Uudempaa en ole löytänyt.

Toivotan lukijoille hyvää joulua!

perjantai 27. marraskuuta 2015

Alkeisgeometriaa ja kompleksilukuja

Yksikkösäteisen ympyrän kehälle asetetaan $n$ pistettä tasavälisesti.  Yksi pisteistä yhdistetään kaikkiin muihin, jolloin ympyrään syntyy $n-1$ jännettä. Mikä on näiden jänteiden pituuksien tulo?

Mikko Rahikan GeoGebra-sovelma (appletti) osoitteessa http://tube.geogebra.org/material/simple/id/92564 antaa aiheen arvella, että tulo olisi tasan $n$.

Varsin yksinkertainen geometrinen kuvio ja yksinkertaisen tuntuinen tulos, mutta miten sen voisi todistaa? Ja tietenkin, onko se näin?  Miten Eukleides olisi ongelmaa lähestynyt?

En tunne alkeisgeometrista todistusta, mutta tällainen voisi olla kiinnostava. Toivotan kommentin tervetulleeksi, jos joku lukijoista tuntee tai löytää todistuksen.

Kompleksiluvut tuovat usein mahdollisuuden todistaa geometrisia tuloksia, mutta aivan alkeellisina todistuksia ei voida pitää.  Ainakaan ne eivät olisi onnistuneet antiikin kreikkalaisille.  Tässäkin tapauksessa kompleksiluvuista on iloa:

Sijoitetaan ympyrä koordinaatistoon siten, että sen keskipiste on origossa ja erikoisasemassa oleva piste on $z_0 = (1,0)$ tai kompleksiluvuksi ajateltuna $z_0 = 1$. Muut pisteet ovat tällöin
\[
z_k = \cos(2k\pi/n) + i\sin(2k\pi/n), \quad k = 1,2,\dots,n-1.
\]
Jänteiden pituudet ovat $|z_k - z_0| = |1 - z_k|$, $k = 1,2,\dots,n-1$, ja näiden tulo
\[
\prod_{k=1}^{n-1}|1 - z_k| = \left|\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k)\right|.
\]

Ympyrän kehällä olevat pisteet ovat luvun $1$ $n$:nnen juuren kaikki kompleksiset arvot, ts. polynomiyhtälön $z^n - 1 = 0$ ratkaisut.  Tällöin polynomi voidaan kirjoittaa muotoon
\[
z^n - 1 = (z - z_0)(z - z_1)\dots(z - z_{n-1}) = \prod_{k=0}^{n-1}(z - z_k).
\]
Jakamalla tekijällä $z - z_0$ ($= z - 1$) saadaan
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = \prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k).
\]
Vasen puoli voidaan tulkita geometriseksi summaksi, kun $z \neq 1$:
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}.
\]
Tällöin
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k) = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}
\]
aina kun $z \neq 1$. Koska yhtälön kummallakin puolella on raja-arvo, kun $z \to 1$, täytyy raja-arvojenkin olla yhtä suuret. Siis
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k) = n
\]
ja väite on saatu todistetuksi.

lauantai 21. marraskuuta 2015

Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei?


Matematiikan opiskelussa on alettu käyttää symbolisia laskentaohjelmia.  Näiden käyttö ei kuitenkaan ole aina sitä, mitä äkkiseltään voisi odottaa.  Ohjelman antamat tulokset voivat näyttää yllättäviltä, jopa vääriltä verrattuna matematiikassa totuttuun. Onkin syytä ajatella, että ohjelma elää omaa elämäänsä, vaikka sillä toki onkin läheinen suhde matematiikkaan.

Symbolisella laskennalla on ohjelmoinnin luonne, ja tämän takia olisi parempi käyttää laskennan syötteissä ohjelmointikielen tyyppisiä komentoja ja funktioita traditionaalisen matemaattisen notaation sijasta, vaikka aloituskynnyksestä ehkä tuleekin korkeampi. Matematiikan notaatio ei myöskään ole yksikäsitteistä, vaan tarvitsee asiaa ymmärtävän ihmisen tulkintaa.  Esimerkiksi $a(b+c)$ saattaa tarkoittaa summan $b+c$ kertomista luvulla $a$ tai funktion $a$ arvoa argumenttina $b+c$.

Paitsi että syötteiden ajatteleminen ohjelmointikielenä korostaa matematiikan ja ohjelmalla tehdyn laskennan eroa, se myös auttaa eteenpäin: yksinkertaiset syötteet on helpompaa oppia laajentamaan usean komennon jonoiksi, ts. pieniksi ohjelmiksi. Ainakin jos ohjelmoinnin perusidea on tuttu.

Esitän seuraavassa joitakin esimerkkejä hieman yllättävistä tilanteista.  Nämä on laskettu Mathematicalla; pdf-muotoinen laskentadokumentti löytyy osoitteesta http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/SymbLask.pdf .  Eri ohjelmat ovat erilaisia. Ilmiö, joka esiintyy yhdessä, ei ehkä esiinny toisessa. Kaikissa kuitenkin on jotakin yllättävää, mikä on osoitus symbolisen laskennan vaikeudesta: tuskin mikään algoritmi on täydellinen. Kyse voi myös olla tasapainoilusta täydellisyyden ja kohtuullisen laskenta-ajan välillä.

Jos joku on kiinnostunut ratkaisemaan samat esimerkit jollakin muulla ohjelmalla, julkaisen dokumentin mielelläni.

Neljännen asteen yhtälö

Jos yhtälöstä $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ ratkaistaan $x$ symbolisella ohjelmalla, saadaan periaatteessa neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavat.  Kertoimille voidaan sijoittaa numeeriset arvot joko yhtälöön tai ratkaisukaavoihin. Edellisessä tapauksessa ratkaisualgoritmia sovelletaan numerokertoimiseen yhtälöön, jälkimmäisessä vain sijoitetaan arvot valmiisiin lausekkeisiin.

Tulosten tietenkin pitäisi olla samat. Useimmiten näin toki onkin, mutta toisinkin voi käydä: Jos $a = 1$, $b = c = d = 0$ ja $e = -1$ ja nämä sijoitetaan yhtälöön, on ratkaistavana yhtälö $x^4 - 1 = 0$. Mathematica antaa oikean tuloksen $\pm 1$, $\pm i$. Ratkaisukaavoihin sijoittamalla saadaan neljään kertaan Indeterminate. Jos kertoimen $b$ arvoa hieman muutetaan, $b = 1/1000000$, molemmat tavat antavat saman oikean tuloksen.

Oikeastaan tilanne ei ole kovin kummallinen: eivät toisen asteen yhtälön ratkaisukaavatkaan toimi, jos $a = 0$.

Yliharmoninen sarja

Sarja $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ suppenee, jos $s > 1$ (jos kompleksiset arvot sallitaan, niin tulee olla $\mathrm{re}(s) > 1$).

Mikäli symbolinen ohjelma yleensä pystyy laskemaan sarjan summan, se saattaa antaa tulokseksi zeta(s). Kyseessä on Riemannin $\zeta$-funktio. Tapauksessa $s = 2$, on $\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}$, mikä on oikea sarjan summa. Tapauksessa $s = -1$ saataisiin sarjan summaksi $\zeta(-1) = -\dfrac{1}{12}$, jolloin siis luonnollisten lukujen summa olisi $1 + 2 + 3 + 4 + \dots = -\dfrac{1}{12}$.

Toimintoa on pidettävä virheellisenä. Summaan zeta(s) tulisi liittyä rajoitus $\mathrm{re}(s) > 1$. Riemannin $\zeta$-funktio on nimittäin näillä arvoilla määriteltävissä sarjan summana, mutta vaikka se muilla keinoilla voidaankin määritellä myös negatiivisella puolella, harmonistyyppisestä sarjasta sitä ei saada.

Syynä omituiseen summaukseen saattaa olla, että symbolisissa ohjelmissa usein esitetään tulos ns. yleisessä tapauksessa jättäen poikkeukselliset arvot huomiotta.  Tässä tapauksessa poikkeusarvoja on kuitenkin paljon.

Itseisarvoyhtälö

Yhtälön $|z - a| = |z - b|$ ratkaisuksi usein saadaan $z = \frac{1}{2}(a + b)$, mikä on tietenkin oikea tulos, mutta ei kata tapausta $a = b$. Tulos ei ole riittävä myöskään kompleksialueella, missä jokainen pisteitä $a$ ja $b$ yhdistävän janan keskinormaalin piste on ratkaisu.

Symbolisessa ohjelmassa saattaa olla yhtälön ratkaisemiseen tarkoitetun solve-funktion lisäksi jokin muu funktio tilanteen tarkempaa analyysia varten. Tämän avulla ehkä saadaan myös kompleksialueella pätevä ratkaisu, joka kuitenkin voi olla monimutkainen eikä kovinkaan helposti hahmotettavissa.

Trigonometrinen yhtälö

Yhtälöllä $\sin(x) = \sin(x + \frac{\pi}{5})$ on yksinkertainen ratkaisu $x = \frac{2\pi}{5} + n\pi$, mikä on käsinlaskulla helposti löydettävissä. Symbolinen ohjelma saattaa kuitenkin antaa monimutkaisempaa:
\[
x = \arctan\left(\frac{\sqrt{2(5 - \sqrt{5})}}{3 - \sqrt{5}}\right) + 2n\pi,
\quad
x = \arctan\left(\frac{\sqrt{2(5 - \sqrt{5})}}{3 - \sqrt{5}}\right) - \pi + 2n\pi.
\] Tulos on sinänsä oikea. Jos ohjelma pystyy sieventämään sen, päästään samaan kuin käsinlaskulla.

Miksi sitten näin monimutkaista? Yhtälön ratkaisualgoritmi varautuu paljon hankalampiinkin yhtälöihin eikä siten aina löydä optimaalista ratkaisutapaa. Hyvä ohje onkin yrittää sieventää, jos lauseke näyttää kovin mutkikkaalta. Tämä tosin voi johtaa huomattavan kauan kestävään laskentaan, mahdollisesti päättymättömään. Käyttäjän on syytä tietää, millä loputon laskenta voidaan katkaista.

torstai 5. marraskuuta 2015

Geometrista todistamista vai koodaamista

Olen eläkepäivinäni ryhtynyt opiskelemaan latinaa ja siten paikkaamaan sivistyksessäni ammottavaa aukkoa. Viime tunnilla minulla oli esitelmä — toki suomeksi — jonka aiheeksi valitsin Eukleideen Elementan. Alunperinhän se on kirjoitettu kreikaksi, mutta geometriaa on opetettu sen pohjalta vuosisatojen kuluessa käyttäen latinaksi kirjoitettuja kirjoja. Näitä pääsee nykyään myös helposti lukemaan: skannattuja verkkodokumentteja on paljon.


Vuonna 1620 Duacumissa (nykyään Douai Pohjois-Ranskassa) ilmestyneen jesuiitta Carolus Malapertiuksen kirjan nimilehdellä luvataan pyrkiä helpompaan omaksumiseen oheisen kuvan mukaisesti.  Ja sitten aloitetaan pudottamalla määritelmät opiskelijan ihmeteltäviksi (toinen kuva). Jäin miettimään, mitä tästä on aikakauden opiskelija mahtanut saada irti. Ehkä hän on lähinnä opetellut tekstit ulkoa. Eikä tästä kauhean paljon poikennut sekään geometrian opetus, jota itse nautin 50-luvulla, paitsi että kirja oli suomeksi.

Ulkoa opittu tieto on silti saattanut vähitellen kypsyä ymmärrykseksi ainakin osalla opiskelijoista. Tässä tietenkin on geometrian opetuksen idea: johdatus deduktiiviseen päättelyyn ja logiikkaan. Mistään välittömästi hyödynnettävästä työelämätaidosta ei koskaan ollut kyse. Poikkeuksena ehkä matematiikan opettajat.

Euklidisen geometrian opetus koulussa on jäänyt historiaan. Jotakin johdonmukaiseen ajatteluun ja logiikkaan johdattavaa kuitenkin kaivataan. Todistamisen opettaminen differentiaali- ja integraalilaskennan yhteydessä ei oikein toimi: joko tilanteet ovat opiskelijan näkökulmasta niin yksinkertaisia, että todistamiseen ei ole tarvetta, tai sitten olisi sukellettava niin syvälle reaalilukujen ja analyysin perusteisiin, että se ei lukiossa ole perusteltua. Mitä siis tilalle?

Uusissa opetussuunitelmissa tarjotaan ns. koodaamista. Puhuisin kuitenkin mieluummin ohjelmoinnista. Nimitys koodaaminen painottaa minusta liiaksi oikeaa syntaksia perusidean sijasta. Tietenkin syntaksi on tärkeätä, jos halutaan saada jotakin toimivaa, mutta sen oppiminen ei ole varsinainen tavoite. Ei tarkoitus ole opettaa työelämässä hyödynnettävää taitoa puhumattakaan peliteollisuuden edistämisestä. Tavoitteena on oppia kuvaamaan jokin rakenne johdonmukaisella tavalla ja ottamaan kokonaisuus hallintaan. Logiikan alkeet tulevat siinä sivussa. Yksinkertainen jakolaskuesimerkki alla.


Tällä tavoin ymmärrettynä koodaamisen tavoitteet rinnastuvat geometriseen päättelyyn tavalla, joka sopii tietotekniikkaa hyödyntävään maailmaan.  Opettajanakin tietokone on lahjomaton: jos koodi ei toimi, virhe on etsittävä ja korjattava.

Edellytyksenä on kuitenkin, että opetuksen varsinaista tavoitetta ei unohdeta.  Kyse on tietoteknisen aikakauden yleissivistyksestä, ei työelämävalmennuksesta eikä muutaman vuoden kuluttua unholaan siirtyvän syntaksin opettelusta.

keskiviikko 21. lokakuuta 2015

Ellipsi ennen ja nyt


Opetin deskriptiivistä geometriaa 1970-luvulla Teknillisessä korkeakoulussa ja opin tuolloin käyttämään piirustuspöytään kiinnitettyä piirustuskonetta.  Jäätyäni eläkkeelle vuonna 2006 sain kotiini piirustuspöydän koneineen: sillä oli kiva leikkiä, vaikka työvälineenä se olikin jo vanhentunut. Nyt pöytä on palautettu museoesineeksi Aalto-yliopistoon, Teknillisen korkeakoulun seuraajaan.

Piirsin ja kiinnitin museopöytään tyypillisen deskriptiivisen geometrian konstruktion: Annettuna on suunnikas ja tehtävänä on piirtää tämän sisään ellipsi. Aksonometrisia kuvia (yhdensuuntaisprojektiokuvia) piirrettäessä ongelma esiintyy usein.  Kohteessa oleva ympyrä nimittäin näkyy kuvassa ellipsinä, ja yleensä on aika helppoa konstruoida ympyrää ulkopuolisesti sivuavan neliön kuva, joka on suunnikas. Sen sisään on sitten piirrettävä ellipsi.


Perinteinen ratkaisu etenee seuraavasti: Suunnikkaan (oheisessa kuvassa mustalla) vastakkaisten sivujen keskipisteiden yhdysjanat ovat ellipsin liittohalkaisijat.  Rytzin akselikonstruktion avulla voidaan tällöin konstruoida ellipsin akselit ja näiden avulla ellipsin sisältävä suorakulmio (kuvassa punaisella). Suorakulmion avulla muodostetaan ellipsin akseleiden päätepisteisiin liittyvät kaarevuusympyrät (vaaleanpunaisella), joiden avulla voidaan käsivaraisesti hahmotella ellipsi (sinivihreä katkoviiva) aika suurella tarkkuudella.

Kuva kylläkin on sikäli epärehellinen, että se on tehty modernilla työkalulla, GeoGebralla. (Avaa GeoGebra-dokumentti.)

Yksityiskohdista kiinnostuneelle lukijalle:

Rytzin akselikonstruktiossa liittosäteistä $KP$ ja $KQ$ toista kierretään 90 astetta keskipisteen $K$ ympäri; kuvassa tuloksena on $KQ'$. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on janan $PQ'$ keskipiste $M$ ja joka kulkee pisteen $K$ kautta.  Tämä leikkaa suoran $PQ'$ pisteissä $R$ ja $S$. Ellipsin akselisuunnat ovat $KR$ ja $KS$, puoliakselien pituudet $Q'R$ ja $Q'S$.

Kaarevuusympyröiden keskipisteet löydetään asettamalla suorakulmion lävistäjälle normaalit (vihreällä) kahdesta muusta kärjestä ja etsimällä näiden leikkauspisteet ellipsin akselisuorien kanssa.

Konstruktioiden pätevyyden päättelyn jätän lukijalle. Aivan helppoa se ei ole.

Perinteisen ratkaisun konstruominen GeoGebralla on tietenkin hieman näköalatonta.  Jos uusi työkalu tarjoaa uudet ja paremmat mahdollisuudet ongelman ratkaisemiseen, näitä toki pitäisi hyödyntää.  GeoGebrassa ellipsin saa muodostetuksi, jos tunnetaan polttopisteet ja yksi kehäpiste. Myös mikä tahansa kartioleikkaus (ellipsi, paraabeli, hyperbeli) voidaan muodostaa, kun tunnetaan sen viisi pistettä. Jätän lukijan pohdittavaksi, miten näitä voi näppärimmin hyödyntää piirrettäessä ellipsiä annetun suunnikkaan sisään.

perjantai 28. elokuuta 2015

Kaksi matematiikan oppikirjaa

Lueskelin kahta hyvin erilaista peruskoulun ja lukion taitteeseen suunnattua matematiikan oppikirjaa. Toinen taaksepäin katsova peruskoulun oppimäärän kertaus, sisältönä kaikki se, minkä lukion opettaja toivoisi lukiotulokkaiden osaavan. Toinen eteenpäin suuntaava yrittää antaa jonkinlaisen mielikuvan siitä, mitä matematiikka on, miksi se ehkä on mielenkiintoista ja miksi sitä kannattaa opiskella.

Edellinen on Paavo Jäppisen, Alpo Kupiaisen ja Matti Räsäsen Matematiikan linkki , kustantajana Otava, verkkokaupassa 22 euroa. Kyseessä on tiivis kertaus peruskoulumatematiikasta. "Linkki on oppikirja, joka kertaa peruskoulun matematiikan keskeiset aihepiirit ja valmentaa opiskelemaan matematiikkaa peruskoulun jälkeen. Linkki soveltuu johdantokurssiksi sekä lukion pitkään että lyhyeen matematiikkaan."

Toinen on Jukka Ilmosen Matematiikka on avain luontoon. Teksti on vapaasti saatavissa pdf-tiedostona, mutta sen voi tilata myös print-on-demand-periaatteella Amazon-yhtymän Create Space -palvelussa kustannettuna kirjana. Hinta tuntuu vaihtelevan erikoisella tavalla: hieman alle $200 (http://www.amazon.com/Matematiikka-avain-luontoon-Finnish-Edition/dp/1482763222) tai £3.50 (http://www.amazon.co.uk/Matematiikka-avain-luontoon-Jukka-Ilmonen/dp/1482763222).  Esittelytekstin mukaan kirja "antaa vastauksia kysymykseen miksi matematiikka ja luonnontieteet ovat tärkeitä. Siinä perustellaan miksi matematiikkaa ja luonnontieteitä pitää opiskella, vaikka laskimet onkin keksitty ja luonnontieteellistä tietoa voi hakea suoraan internetistä. Lisäksi kirjassa selvitetään miten matematiikka ja luonnontieteet ovat tekniikan kautta vaikuttaneet jokapäiväiseen elämäämme." Tekijä on opettanut Päivölän Kansalaisopiston matematiikkalinjalla ja kirja on syntynyt opettajien ja oppilaiden kanssa käytyjen pohdiskelujen pohjalta.

En esittele Jukka Ilmosen kirjaa tarkemmin, vaan viittaan Matti Lehtisen Solmussa julkaisemaan arviointiin.  Lukija voi myös itsekin helposti tutustua kirjaan lataamalla tiedoston.  Varsinaisia tekstisivujakaan ei ole enempää kuin 107.

Kirjat sijaitsevat monessa mielessä vaihteluvälin ääripäissä. Toinen on perinteisen kustantajan tuotantoa, toinen testaa uusia julkaisumahdollisuuksia.  Toinen on kokeneiden opettajien käsialaa, toisessa katsellaan asioita poikkeavista näkökulmista taustana matematiikkaan ja luonnontieteisiin painottuneet opinnot. Toisessa kerrataan matematiikkaa vakiintuneella, ehkä ikävystyttävälläkin tavalla, toisessa lennetään korkealla arkipäivä unohtaen.

Kummallakin on varmasti käyttönsä. Rautaisannos peruskoulun kertaamiseen on hyvä olla tarjolla. Kaiken ei kuitenkaan pidä tähdätä vain yksityiskohtien moitteettomaan osaamiseen, varsinkaan jos tämä tuo mukanaan kangistumisen 'ainoan oikean' ratkaisutavan esittämiseen. Ainoaan oikeaan ei sinänsä matematiikan oppikirjoissa tietenkään pyritä, mutta tavaksi tullut esitystyyli johtaa tähän: esimerkki, perässä ratkaisu, toki joskus harvoin myös vaihtoehto.  Houkutus opetella ratkaisutapa ulkoa on suuri, sillähän saa kokeessa täydet pisteet. Mihin unohtuu ajattelu?

Taivaanrantaa maalaava esitys on herkästi tasapainoton ja valituista näkökulmista voi olla eri mieltäkin. En pitäisi tätä kuitenkaan haittana, jos asioita myös pohditaan kirjan lukijan kanssa. Avara näkemys on kiistatta innostavampi kuin mahdollisimman hyvään koesuoritukseen keskittyvä. Lukiota aloittavalle opiskelijalle suosittelisin empimättä mieluummin Ilmosen kirjaa kuin Linkkiä. Jos innostus herää, mahdolliset puutteet peruskoulun oppimäärän osaamisessa eivät ole ongelma.

Moderni julkaisutapa tuo kuitenkin hieman vaikeuksia. Jos kirjan haluaisi antaa lahjaksi, ei oikein tunnu tyyliin sopivalta antaa vain nettiosoite. Fyysisen kirjan hankkiminen on ongelmallista: parikymmentä euroa voisin maksaa, mutta en kyllä lähes kahta sataa. Markkinoinnilla ja jakelulla on merkityksensä. Vai onko jokin kohtuullinen kanava, jota en ole huomannut? Ilmosen kirja olisi tällaisen arvoinen.

torstai 30. heinäkuuta 2015

Matematiikan tylsyys?

Johduin selaamaan lukion matematiikan kirjaa: pitkän matematiikan kurssi 7, derivaatta. Tuotti jälleen jonkinlaisen järkytyksen, vaikka en voikaan sanoa, etten olisi aikaisemminkin selannut ja kummastellut silloinkin. Onko todella niin, että matematiikka pitää välttämättä saada näyttämään mahdollisimman tylsältä ja hyödyttömältä? En kerro kustantajaa, koska arvelen, että erot kustantajien välillä eivät ole suuria.

Tällaiseen näkemykseenhän herkästi törmää, kun keskustelu humanistin, juristin, yhteiskuntatieteilijän tai jonkun ns. tavallisen ihmisen kanssa kääntyy matematiikkaan. Heillä ei yleensä ole lukiota enempää matemaattista koulutusta, joten mielikuva on peräisin omalta lukioajalta. Kirjaa selattuani en ihmettele käsityksen syntyä.

Yleisenä rakenteena lukion matematiikan kirjoissa näyttää olevan lukuisien esimerkkien tarjoaminen lyhytsanaisen asian esittelyn jälkeen. Esittelyssä ei yleensä viitata siihen ajatusmaailmaan, josta käsitteet ovat syntyneet. Havainnollistuksia voi olla, mutta usein näitä leimaa keinotekoisuus ja sekavuus, jonka epäilen hämmentävän enemmän kuin selittävän. Esimerkkien hengen pelkään olevan 'ethän tätä kuitenkaan ymmärrä, mutta laske näin sitten ylioppilaskokeessa'. Opetetaan rutiineja ja apinointia, mutta ei ajattelua.

Kyseessä on pedagoginen valinta, jota en ymmärrä. Voi olla, että ajattelun oppiminen ei ole helppoa, mutta tähän tulisi kuitenkin tähdätä. Kaikki eivät opi kaikkea, eikä kaikkien tarvitse oppia matematiikkaa kovin hyvin. Oikea mielikuva, vaikka puutteellinenkin, tulisi kuitenkin saada. Väärä mielikuva täydennettynä nopeasti unohtuvilla ulkoa opituilla rutiineilla ei ole paljonkaan arvoista.

Toinen pedagoginen valinta, jota myöskään en ymmärrä, on kirjan lopussa oleva sangen monen sivun kertausjakso, jossa asiat käydään uudelleen lävitse. Tämähän on viesti, että asioita ei oikeastaan tarvitse opetella silloin kun ne esitetään. Kurssin lopussa — ja ehkä myöhemminkin — ne kuitenkin tarjoillaan kertauksena. Eikö opiskelun pitäisi olla sitä, että oppija rakentaa itselleen mielikuvan asiasta, ja kun sitä ei kuitenkaan kerralla omaksu, on itse palattava aiempaan esitykseen ja kerrattava asia, tarvittaessa monta kertaa. Vastuu siirtyy oppijalle, joka toki tarvitsee ohjausta ja tukea, mutta samalla oppii kirjallisuuden käyttämisen alkeet: etsi kirjasta, nykyään myös verkosta, ja sulata löytämäsi.

Lukuisat esimerkit ja laaja kertaus tekevät kirjasta paksun ja siten synnyttävät herkästi mielikuvan kurssin vaikeudesta. Samalla tavoin vaikuttaa kummallinen pyrkimys esittää samankaltaiset asiat erillisinä: derivaattakurssissa pohditaan erikseen rationaalifunktion, funktion yleensä ja polynomifunktion kulkua merkkikaavioineen. Kyseessähän on yleensä funktion kulku, jota on luontevaa havainnollistaa kuvaajalla. Merkkikaavioistakin voi olla iloa, mutta tiedettä ei niistä kannata kehittää. Karsimiselle olisi sijaa.

Osittain ongelmat aiheutuvat opetussuunnitelmasta, jossa edetään aika pitkälle, ilman että tunnetaan muita funktioita kuin polynomit ja rationaalifunktiot. Seurauksena on mm. raja-arvokäsitteen tietynlainen trivialisoituminen: rajoitutaan yksinkertaisiin tapauksiin, joita varten käsitettä ei oikeastaan tarvita. Mitään $\sin(x)/x$- tai $(1+1/n)^n$-tyyppistä tapausta ei vielä voida ottaa esiin. Ajattelevan lukiolaisen oikeastaan pitäisikin kysyä, mitä järkeä koko käsitteessä on.

Kaikkiaan syntyy käsitys, että lukiomatematiikasta on kadonnut idea: opetussuunnitelmassa asiat ovat väärässä järjestyksessä, kirjat ovat toivottoman laajoja ja osittain sekavia, eivät innosta matematiikkaan eivätkä ohjaa tulokselliseen opiskeluun. Ikävä lisäksi todeta, että peruskoulua tuntevat sanovat matematiikan opetuksen rappeutuneen sielläkin.

Kun nyt olen ihmettelemään ruvennut, niin ihmettelen vielä opettajiakin: onko todella niin, että yliopistokoulutuksen saanut opettaja tarvitsee oppikirjan, joka on samalla tuntisuunnitelma, aukeama tuntia kohden. Eikö opettajan pitäisi rakentaa tuntinsa itse? Tulisi paremmin sisäistettyä jälkeä. Kustantaja katsoo vain omaa myyntiään eikä ota sitä riskiä, mitä poikkeavan näkökulman tarjoaminen merkitsisi. Luovutammeko siis vai olisiko jonkinlaisen terästämisen paikka?

maanantai 29. kesäkuuta 2015

Onko 0 = 1 ?

Usein käytettyjä integroinnin työkaluja on osittaisintegrointi:
\[
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx
\]
(ks. esim. Wikipediaa tai MathWorldia ).

Soveltamalla tätä funktioihin $u(x) = 1/x$ ja $v(x) = x$ saadaan
\[
\int \frac{1}{x} \cdot 1\,dx = \frac{1}{x} \cdot x - \int -\frac{1}{x^2} \cdot x\,dx
\]
eli
\[
\int \frac{1}{x}\,dx = 1 + \int \frac{1}{x}\,dx.
\]
Tässä integraalit kumoutuvat ja jäljelle jää $0 = 1$.

Kyseessä ei tunnetusti ole ainoa mahdollisuus yrittää todistaa, että $0 = 1$. Tällaisilla paradokseilla on merkityksensä: Emme suinkaan ala uskoa, että nolla ja ykkönen olisivat sama asia, jolloin päättelyssä täytyy olla jotakin vikaa. Tämän löytäminen saattaa hyvinkin opettaa jotakin uutta, panna ajattelemaan muutoin huomaamatta jääviä asioita. Jätän pohtimisen lukijalle.

Olen muutaman kerran esittänyt edellä olevan päättelyn luennoillani vain eräänä esimerkkinä osittaisintegroinnista ajoitettuna kaksoisluennon ensimmäisen tunnin loppuun, jolloin tulos tuli kuulijoille yllätyksenä. Poistuin tauolle. Sali jäi tuijottamaan hölmistyneenä eikä kenelläkään ollut kiirettä kahvijonoon. Tauon jälkeen asiaan toki oli syytä palata.

perjantai 29. toukokuuta 2015

Kipsikuvia ja muuta matematiikkaa


Olen muutamissa aiemmissa postauksissani (24.5.2013, 2.3.2015, 11.4.2015) käsitellyt matemaattisten mallien kokoelmaa, jonka kuluneen kevään aikana olen järjestellyt nähtäväksi Aalto-yliopiston tiloihin Otaniemeen. Alunperin kyseessä on Teknillisen korkeakoulun kokoelma.

Työ on nyt valmis ja verkkosivutkin ovat olemassa: http://math.aalto.fi/models/.  Näyttely sijaitsee matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen aulassa entisen Teknillisen korkeakoulun päärakennuksen M-siiven toisessa kerroksessa. Kiinnostuneet voivat käydä katsomassa. Kyseessä on pysyvä näyttely.

Kokoelman merkittävin osa muodostuu pintojen kipsi- ja lankamalleista sekä joistakin kinemaattisista ja topologisista malleista. Näillä on ikää yli sata vuotta. Niiden valmistus alkoi Saksassa 1870-luvulla ja ensimmäiset on hankittu silloiseen Polyteknilliseen Opistoon vuonna 1887. Tästä tuli yliopistotasoinen Teknillinen korkeakoulu vuonna 1908.

Esillä on myös geometrisia piirustusvälineitä sekä matemaattisia instrumentteja ja laskulaitteita, jotka vanhenivat tietokoneaikakauden todella alkaessa 1970-luvun alussa. Kolmantena aihepiirinä ovat deskriptiivisen geometrian piirustukset ja kolmiulotteiset mallit. Näillä on ikää yli 50 vuotta.

Tarkemmat tiedot löytyvät verkkosivujen esittelyteksti-linkistä.

Kyseessä on pala matematiikan opetuksen historiaa teknillisen opetuksen näkökulmasta. Deskriptiivisen geometrian sekä laskenta- ja piirustusvälineiden merkitys insinöörikoulutuksessa on melko selvää. Olihan deskriptiivisen geometrian luoja Gaspard Monge opettajana École polytechniquessa, ja hänen mukaansa nimetty Mongen projektio niin tärkeä työkalu mm. linnoitussuunittelussa, että se luokiteltiin suureen vallankumoukseen saakka sotasalaisuudeksi.

Geometristen kipsi- ja lankamallien suhde tekniikan opetukseen ei ole yhtä selvä. Monet niistä liittyvät siinä määrin pitkälle menevään geometriaan, että niitä tuskin on voitu käyttää tavanomaisten kurssien opetusvälineinä.  Ne ovatkin ilmeisesti liittyneet enemmän opettajien tutkimustyöhön, ja niillä on varmasti ollut merkityksensä kolmiulotteisten rakenteiden yleisessä hahmottamisessa. Ehkä on myös ajateltu, että yliopistolla tulee olla matemaattisia kokoelmia samoin kuin on mineralogisia, kasvitieteellisiä tms.  kokoelmia.

Annan mielelläni lisätietoja näyttelystä, malleista ja niiden taustoista.

sunnuntai 24. toukokuuta 2015

Buffon, laskimet ja koulu

Johduin jokin aika sitten palauttamaan mieleeni probleeman, jonka Buffonin kreivi, Georges-Louis Leclerc de Buffon esitti vuonna 1733. Tämä on todennäköisyyteen liittyvä koe, joka tunnetaan Buffonin neulaprobleeman nimellä:

Paperille piirretään tasavälisiä yhdentaisia viivoja. Kuvion päälle pudotetaan satunnaisesti neula, jonka pituus on sama kuin viivojen etäisyys toisistaan. Millä todennäköisyydellä neula putoaa siten, että se leikkaa jonkin viivan?

Buffonin neulaprobleema: yhdensuuntaiset viivat ja neula

Ainakin yliopistojen todennäköisyyslaskennan kursseissa tämä yleensä lienee harjoitustehtävänä. Tulos on $2/\pi \approx 0.63662$. En esitä ratkaisua tässä. Kiinnostuneet voivat katsoa vaikkapa verkkodokumenttia http://fi.wikipedia.org/wiki/Buffonin_neula.

Lukiossakin opetetaan todennäköisyyslaskentaa. Saattaa olla, että ratkaisu on hieman vaikea lukiolaiselle käsitteellisellä tasolla, vaikka se teknisesti on täysin mahdollinen.

Mutta lukiolainenhan voisi simuloida probleemaa. Piirretään viivat paperille ja heitetään neulaa vaikkapa 10000 kertaa. Lasketaan viivan päälle osumisten suhde kaikkien heittojen määrään ja katsotaan, päästäänkö lähelle lukua $2/\pi$. Ehkei sentään. Olisi vähän tylsää ja kuntakin joutuisi ostamaan neuloja aika läjän.

Mutta tässä olisi sopiva tehtävä toteutettavaksi laskimilla tai mieluummin tietokoneilla. Jouduttaisiin pohtimaan todennäköisyyden luonnetta ja simuloinnin ideaa, saataisiin matematiikan oppimista tukeva ohjelmointitehtävä. Konkreettista tekemistä, jossa ei kysytäkään opettajalta, milloin tehtävä on tehty, vaan saatu tulos ratkaisee.

Edellytyksenä tietenkin on, että käytössä oleva laskin tai tietokoneohjelma tukee tällaista käyttöä. Ainakin tarvitaan satunnaislukugeneraattori, joka tuottaa jollekin välille tasaisesti jakautuneita satunnaislukuja. (Mitä nämä ovat? Lisää pohdittavaa tunnille.) Lisäksi tarvitaan mahdollisuus kirjoittaa riittävän helposti yksinkertaista ohjelmakoodia, ja laskentanopeuttakin pitäisi olla riittävästi. Miljoonan neulanpudotuksen pitäisi olla mahdollista muutamassa minuutissa, ehkä alle minuutin. Varovaisempaa tietenkin aloittaa tuhannesta tai muutamasta kymmenestä tuhannesta pudotuksesta.

En tiedä, miten hyvin nykyiset laskimet ja kouluihin tarjottavat tietokoneohjelmat tukevat tällaista laskentaa. Esitänkin haasteen laskinfirmojen edustajille: laatikaa ohjelma ja julkaiskaa se, lisäksi tiedot laskentaan kuluvasta ajasta.

Matematiikan ymmärtämisen kannalta symbolisten laskimien käyttö saattaa herkästi painottaa vääriä asioita. Oleelliseksi tulee valmiiden työkalujen käytön oppiminen ja sivuun jää se, mihin näitä varsinaisesti tarvitaan. Numeerinen laskenta ohjelmointiin yhdistettynä saattaa avata oppilaille näköaloja enemmän kuin symbolinen laskenta asiana sinänsä. Ei symbolinen laskenta silti tarpeetonta ole. Sen ja ohjelmoinnin yhdistäminen avaa mahdollisuuksia vielä enemmän.

Joku saattaa sanoa, ettei koulumatematiikka tällaista ole eikä koulussa ole mahdollisuuksia tällaiseen. Aivan oikeassa hän on. Mutta tällaista sen pitäisi lähitulevaisuudessa olla, ja tähän suuntaan pitäisi edetä.

sunnuntai 10. toukokuuta 2015

Matematiikan opetus ja tietokoneet, ei hyvältä näytä

Olen puolustanut laskimien tai mieluummin matemaattisten tietokoneohjelmien käyttöä matematiikan opetuksessa, mutta samalla vaatinut niiden järkevää käyttöä. 'Järkevä' tarkoittaa matematiikan oppimisen edistämistä, ei mitä tahansa tietoteknistä räpeltämistä.

Viime aikojen keskustelua seurattuani on pakko todeta, että ei hyvältä näytä. Opettajakuntaa ei kiinnosta mikään muu kuin ylioppilaskokeen arvosteluperusteet. Kaikkein mieluiten haluttaisiin auktorisoitu lista kokeessa sallituista laskimen käyttötempuista, ja tämä sitten taottaisiin lukiolaisparkojen päähän. Laskimien maahantuojia kiinnostaa ainoastaan oma markkinaosuus. Tämän turvaamiseksi opettajia koulutetaan juuri meidän laskimemme surkeaan käyttöliittymään. Opettajankouluttajat ovat hämmästyttävän hiljaa. Juuri heidänhän luulisi olevan kiinnostuneita pedagogisesti järkevästä tekniikan käytöstä. Varsinaisesta matematiikan osaamisesta ovat kiinnostuneita vain konservatiiviset opettajat, jotka haluavat paluuta menneeseen.

Olenko pessimisti? Ehkä en kuitenkaan ihan. Myönnän toki, että tilanne on hämmentävä: tarjontaa erilaisista tietoteknisistä välineistä ja ratkaisuista on paljon, niihin paneutuminen vaatisi aikaa, opetussuunnitelmia uudistetaan, ylioppilaskoetta sähköistetään (ja purraan aika isoa palaa). Silti ei pitäisi heittää lasta eli matematiikkaa pesuveden eli tietotekniikan mukana pois. Molempia tarvitaan.

Mitä sitten näen pahimpina ongelmina? Jonkinlaista idealismia kaipaisin.  Matematiikka on hieno asia ja oppilaille on annettava mahdollisuus innostua siihen.  Tärkeintä ei tällöin todellakaan ole ylioppilaskokeen vaatimukset.  Nekin muuttuvat eikä niitä pidä tiukasti formalisoida. Innostuneisuus matematiikkaan on paljon tärkeämpää kuin muutama koepiste sinne tai tänne.

Opettajien pitää ymmärtää, että laskin on apuväline, jota saa käyttää, mutta jota ei saa syyttää omasta ymmärtämättömyydestä. Jos laskin (tai tietokoneohjelma) antaa virheellisen, puutteellisen tai kryptisen tuloksen, ei ole lieventävä asianhaara, että tulos on saatu laskimesta.  Kyseessä on käyttäjän vika. Oppilas ei ehkä heti usko tätä, mutta koulussa ollaan, jotta opitaan.

Lähinnä kai kaupallisista syistä laskimiin kehitetään mahdollisimman monia valmiita toimintoja mutkikkaiden valikoiden taakse. Tavoitteena sanotaan olevan oppimisen helpottaminen. Seurauksena on kuitenkin oppimisen suuntautuminen tietyn laskimen valikoiden opetteluun, ei matematiikkaan.  Tarjolla olevien työkalujen tulisikin olla primitiivejä, perustyökaluja, joita opiskelijan on kombinoitava matemaattisen ymmärryksensä mukaan.  Samalla astutaan luonnollisella tavalla ohjelmoinnin maailmaan: taitojen karttuessa kerätään primitiiveistä itse tehty paketti tiettyä tehtävää varten.  Edellytyksenä tietenkin on, että laskin tukee yksinkertaista, mutta selkeää ja ilmaisuvoimaista ohjelmakoodia.

Samaan tapaan kuin kirjallisuutta arvostellaan tai tekniikkaa testataan, olisi tarpeen arvioida koulumaailmaan tarjottuja laskimia, ohjelmistoja, opetuspaketteja yms. Tasapuolinen arvionti ilman henkilökohtaisia mieltymyksiä ei vain ole aivan pieni tehtävä.

Laskimien käyttö on painottunut hieman kummallisella tavalla: Niitä käytetään suhteellisen yksinkertaisiin perustehtäviin (jolloin kyllä opitaan tietoteknistä sorminäppäryyttä), mutta ne eivät useinkaan toimi siltoina laajempaan omaehtoiseen matemaattiseen kokeiluun ja pienimuotoiseen tutkimukseen. Ei ole opittu katsomaan yli koulukurssien eivätkä kaikki laskimet edes tue kovin hyvin tällaisia kokeiluja. Kaikki opiskelijat eivät varmasti matemaattiseen pohdiskeluun innostu, mutta ei toki tarvitsekaan.  Riittää, että jotkut innostuvat, heille tarjotaan mahdollisuus, ja muille syntyy periaatteellinen mielikuva matematiikasta koulukurssia laajempana työkaluna ja tieteenä.

Odottaisin matematiikan didaktikkojen paljon nykyistä voimakkaammin vastaavan tietotekniikan tuomaan haasteeseen. Kyseessä on muutos, jossa joudutaan miettimään uudelleen eksaktin, todistamiseen perustuvan matematiikan ja käytännöllisen tai kokeilevan, laskennallisen matematiikan välinen suhde.  Lisäpiirre tulee ohjelmoinnin opetuksesta: se on hyvä työkalu matematiikan opiskeluun, mutta kaikki ohjelmointi ei suinkaan ole matematiikkaa.  Ainakin Suomen ulkopuolelta kaipaamaani mielenkiintoa on toki löytynytkin: Varsin suurta suosiota saavuttanut GeoGebra on ymmärtääkseni peräisin opettajankoulutuslaitokselta. Muutakin vastaavaa lienee.

Maailma muuttuu eikä paluuta menneeseen ole. Tietotekniikka on tullut jäädäkseen eikä matematiikkakaan ole täysin entisensä. Meillä riittää opittavaa.

lauantai 11. huhtikuuta 2015

Matemaattinen pinta 3D-tulostuksella

Postauksessani 2.3.2015  kirjoitin yksivaippaisen hyperboloidin pääkaarevuuskeskuksien urasta. Tämä on kolmiulotteisen avaruuden pinta, josta on Saksassa tehty kipsimalli yli sata vuotta sitten. Näitä myytiin, ja sellainen sisältyy myös Teknilliseen korkeakouluun hankittuun kokoelmaan, joka on nykyään esillä matematiikan laitoksen käytävällä Otaniemessä. Postauksessani on valokuva kipsimallista ja vastaava Mathematicalla laskettu kuva.

Pohdin myös, onnistuisiko pinnan 3D-tulostus, kun kerran parametrimuotoiset yhtälöt ovat tiedossa. Tämä on nyt sitten tehty, kiitokset Matti Harjulalle.  Alla on kuva noin 10 cm korkeasta mallista.



Pelkästään Mathematicalla tehdystä kuvasta, puhumattakaan 3D-mallista saa paljon paremman käsityksen pinnasta kuin 1800-luvun lopun kipsimallista. Jälkimmäinen ei oikein anna mielikuvaa kahdesta erillisestä pinnasta, joista toinen on osittain toisen sisällä. Toisesta, kaksisuuntaista kartiota muistuttavasta pinnasta myös syntyy virheellinen mielikuva: sen ylä- ja alaosa eivät nimittäin liity toisiinsa pyöristetyissä kärjissä vaan ne kohtaavat pitkin ellipsiä, jonka sisäosa on avoin, ts. pinnan sisällä voi kulkea pystysuorassa suunnassa. Tämä näkyy 3D-mallista, mutta myös Mathematicalla tehdystä kuvasta, joka itse asiassa on 3D-malli, jolloin sitä voi pyöritellä ruudulla. Toki asian voi myös päätellä kaarevuuskeskuksien ominaisuuksista, mutta ei matematiikassakaan pidä syrjiä havainnollisuutta.

Edistystä on siis tapahtunut sadassa vuodessa.

Uudet mahdollisuudet ovat myös herättäneet uudelleen mielenkiinnon geometrisiin pintoihin. Vanhoja kokoelmia on kunnostettu monissa yliopistoissa, emmekä tietenkään olleet ensimmäiset, jotka kiinnostuivat 3D-tulostuksesta. Postaukseeni 25.5.2013  sisältyy kuva Clebschin diagonaalipinnasta sekä kipsimallista otettuna valokuvana että Mathematicalla laskettuna. 3D-tulostuksen tällaisesta voi nykyään ostaakin kirjoituspöydän nurkalla pidettäväksi. Jotta en mainosta, niin en anna suoraa osoitetta, mutta hakukoneelle voi kirjoittaa 'clebsch diagonal surface'.

Mielenkiintoista on, että matemaatikoiden ohella pintamalleista kiinnostuneet henkilöt tulevat nykyään usein taiteen piiristä.

lauantai 7. maaliskuuta 2015

Ylioppilaskoe

Matematiikan ylioppilaskokeen lähestyessä ja koska matematiikan osaamista muutoinkin on syytä edistää, tarjoan opiskelumateriaalia:

Tehtävä. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on $75$ ja kateettien pituudet $x$ sekä $\frac{x}{2} + 15$. Määritä kateettien pituudet.

Ratkaisu 1. Pythagoraan lauseen mukaan on
\[
x^2 + (\frac{x}{2} + 15)^2 = 75^2
\]
eli
\[
x^2 = 75^2 - (\frac{x}{2} + 15)^2.
\]
Ottamalla neliöjuuri puolittain ja poistamalla sulut saadaan
\[
x = 75 - \frac{x}{2} + 15,
\]
mistä seuraa $x = 60$ ja $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 2. Kolmiossa sivujen vektorisumma on $= 0$, jolloin saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 0.
\]
Tämän ratkaisu on $x = -60$. Sivun pituuden tulee kuitenkin olla positiivinen. Vektorisummassa ei myöskään ole väliä, miten päin kierretään. Siis $x = 60$. Tällöin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 3. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata myös muotoon
\[
x^2 + \frac{x^2}{2} + 225 = 5625.
\]
Juuret ovat $x = \pm 60$, joista vain positiivinen kelpaa. Siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 4. Koska kolmiossa summa on $180$, saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 180.
\]
Tämän ratkaisu on $x = 60$, jolloin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 5. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata kolmanteenkin muotoon:
\[
\tfrac{5}{4}x^2 + 15x + 225 = 5625.
\]
Tämän juuret ovat $x_1 = -72$, $x_2 = 60$. Vain positiivinen kelpaa, ja siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

maanantai 2. maaliskuuta 2015

Pintojen mallit

Olen vanhassa työpaikassani Teknillisen korkeakoulun — nykyään Aalto-yliopiston — matematiikan laitoksella järjestelemässä geometrian mallikokoelmaa. Muun ohella tähän kuuluu yli sata vuotta vanhoja matemaattisten pintojen kipsi- ja lankamalleja. Pintojen geometrian tutkimus oli tuolloin varsinkin Saksassa varsin intensiivistä ja mallit olivat havainnollistuksia. Olen näistä kirjoittanut aikaisemminkin, postauksessani 24.5.2013.  Silloin kokoelma purettiin tilojen peruskorjauksen ajaksi ja nyt se järjestetään uudelleen uusiin korjattuihin tiloihin.

Olen edellisen kerran järjestänyt kokoelman vuonna 1966, jolloin malleja koskevia lähteitä ei ollut niinkään helppoa löytää. Lähinnä käytin repaleista, mutta huolellisesti laadittua saksalaista myyntiluetteloa vuodelta 1911. Nyt tilanne on täysin toinen: kyseinen luettelo monen muun vastaavan ohella on verkossa skannattuna, monien yliopistojen verkkosivuilta löytyy hyvin dokumentoituina tiedot näiden kokoelmista, malleista on Groningenin yliopistossa tehty väitöskirjakin.

Laskentaohjelmilla voi piirtää kuvia pinnoista ja pyöritellä niitä ruudulla, joten uusiakin mahdollisuuksia havainnollistamiseen on. Esimerkkinä olkoon yksivaippaisen hyperboloidin Centrafläche, kuten mainittu myyntiluettelo sanoo. Kipsimallin kuva on ohessa. Hieman kummallinen pinta: sileän pinnan sivuilla on palteita ja jonkinlaisia väkäsiä. Mistä mahtaa olla kyse?

Kipsimalli

Mallin vanhat esitetekstit viittasivat jollakin tavoin pinnan, siis yksivaippaisen hyperboloidin kaarevuuskeskuksiin. Differentiaaligeometrian mukaan pinnan jokaiseen pisteeseen liittyy kaksi pääkaarevuutta, jotka vastaavat pinnan normaalileikkauskäyrän suurinta ja pienintä kaarevuutta. Kumpaakin vastaa kaarevuusympyrä, jolloin kyse saattaisi olla näiden keskipisteiden muodostamista urista.

Asian varmistamiseksi päätin piirtää kyseiset urat. Laskentaohjelmissa on nykyään aika vahvoja työkaluja, joten työ ei ehkä olisi aivan mahdoton. Eikä se ollutkaan, tulos tuli Mathematicalla pikemminkin helposti. Tosin lausekkeet eivät ole aivan yksinkertaisia: esimerkiksi toisen urapinnan parametrimuotoinen x-koordinaatti on
\begin{align*}
\frac{1}{80} \sqrt{4 v^2+1}\, &\cos (u)
\biggl(42 \bigl(4 v^2+1\bigr)
\cos (2 u)\\
-\sqrt{2}\, &\sqrt{2604 \bigl(16 v^4-1\bigr) \cos (2 u)+441 \bigl(4
   v^2+1\bigr)^2 \cos (4 u)+37808 v^4+4792 v^2+2363}+248 v^2+146\biggr)
\end{align*}

Parametriesitysten perusteella urapinnat sitten olikin suoraviivaista piirtää:

Kaksi läpikuultavaa urapintaa, punainen ja vihreä

Tulos on kipsimallia havainnollisempi. Koska toinen pinta jää suurelta osalta toisen sisään, siitä ei massiivisessa kipsimallissa voi paljon näkyä.  Tietokoneella tehtyyn kuvaan sen sijaan voidaan määritellä läpikuultavuutta ja katselusuuntaa voidaan kohdetta pyörittelemällä vaihtaa, jolloin kuvasta voi todeta pintojen putkimaisuudenkin: pystysuorassa voi kulkea läpi.

Mathematicasta saa ulos myös 3D-tulostimen tarvitseman määrittelytiedoston.  Pitänee vielä kokeilla, saako tällä tavoin todellakin pintamallin, ei massiivista kappaletta.

perjantai 13. helmikuuta 2015

Aikansa taskulaskin

Curta säilytyskoteloineen

Kullakin aikakaudella on laskentavälineensä. Taskulaskimet tulivat 60- ja 70-lukujen vaihteessa ja elektroniikan aikakausi alkoi. Aluksi laskin oli ainoastaan numeerinen, peruslaskutoimitukset kattava, mutta varsin pian mukaan tulivat myös tavalliset alkeisfunktiot. Seuraava vaihe oli graafinen laskin, ja nykyään myös algebra onnistuu. Tämän päivän älypuhelimessa on kaikki tämä 70-luvun laskimen kokoisessa rasiassa ja lisäksi puhelin, televisio, musiikkisoitin ja verkkoselain.

Mutta ei taskuun mahtuvan laskimen historia alkanut elektronisten taskulaskimien tullessa. Jo 40-luvun lopulla valmistettiin Curtaa. Tämä on mekaaninen laskin, jonka osittain juutalaistaustainen vuonna 1902 syntynyt Curt Herzstark ideoi 1938 Wienissä ja suunnitteli yksityiskohtaisesti Buchenwaldin keskitysleirillä 40-luvun alkupuolella. Työ sallittiin, koska laitetta ajateltiin lahjaksi Hitlerille, kun sota olisi voitettu.  Herzstark selviytyi keskitysleiriltä, ja jo vuonna 1945 hän sai valmistutetuksi kolme toimivaa Curtaa.

Liechtensteinin ruhtinaan tuella laitteiden valmistus alkoi Liechtensteinissa Contina-yhtiössä ja ensimmäiset sarjatuotantokappaleet valmistuivat 1948. Curta on pienikokoinen myllyä muistuttava käsin pyöritettävä laskin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuun, todellinen insinööritaidon ja hienomekaniikan taidonnäyte. Myös alkeisfunktioiden arvojen laskemiseen on esitetty algoritmeja, ts. toimintaohjeita peruslaskutoimitusten tehokkaaseen kombinoimiseen.
Manuaalin esimerkki jakolaskun suorittamisesta

Aivan yksinkertaista Curtan käyttö ei ole. Edes kerto- tai jakolasku ei suju yhdellä kammen pyöräytyksellä. Yhtä nappia painamaan tottunut tämän päivän ihminen on ihmeissään. A6-kokoisessa manuaalissa neliöjuuren laskemista koskevaan esimerkkiin tarvitaan kolme ja puoli sivua.

Kovin laajaa ei Curtan käytöstä tullutkaan. Vuoteen 1972 mennessä valmistettiin noin 150000 Curtaa. Elektronisten laskimien tulo siirsi sen laskentavälineenä historiaan.

Samoihin aikoihin päättyi monen muunkin mekaanisen laskukoneen valmistus. Curta oli kuitenkin ainoa, joka mahtui taskuun. Hienomekaanisena taidonnäytteenä se kuitenkin on edelleenkin kiinnostava, ja Curtaa käsitteleviä verkkosivuja on monia. Sekä historiaa että tekniikkaa löytyy saksankielisistä sivustoista http://www.curta.de/ ja http://www.curta.li/.

perjantai 23. tammikuuta 2015

Kaksi vaikeaa: matematiikan aloituskurssi ja laskin

Lukion opetussuunnitelmien laatiminen kirvoittaa vähitellen keskusteluja, jollaisia olisi pitänyt käydä jo paljon aikaisemmin. Jos jotakin uutta halutaan, näkemykset kypsyvät hitaasti, ei yksinomaan oppilailla, vaan meillä kaikilla. Ongelmana vain on, että opetussuunnitelmatyö ei anna aikaa tähän. Loogista olisi vaipua epätoivoon ja luovuttaa, mutta jos nyt kuitenkin. (Matemaatikon ja juristin logiikan ero on siinä, että matemaatikko päättelee aukottomasti joutuneensa umpikujaan ja luovuttaa; juristi tekee reiän, josta tulee ulos.)

Yhteisen aloituskurssin rakentaminen on uuden opetussuunnitelman vaikein asia. Yhtäältä sen täytyy antaa mahdollisuus vähitellen kypsyä matematiikkaan eikä se siis saa olla liian vaativa. Toisaalta sen täytyy sisältää jotakin oleellista, joka kantaa eteenpäin matematiikan opinnoissa, olipa kyseessä lyhyt tai pitkä matematiikka.

Toinen ongelma syntyy laskimien ja tietokoneiden käytöstä. Mielipiteet jakautuvat: Konservatiivit pelkäävät laskimien tuhoavan loputkin matematiikan osaamisesta ja mielellään kieltäisivät tekniikan käytön kokonaan. Tekniikkaan innostuneet uudistajat odottavat tietotekniikan käytön avaavan rajattomien mahdollisuuksien aikakauden, jossa oppimisesta tulee helppoa. Todellisuus on jossakin tällä välillä. Laskimia — tai mitä uusia välineitä lähivuosina tuleekaan — pitäisi hyödyntää matematiikan opiskelussa varsinaista tavoitetta unohtamatta.

Funktio on matematiikan ehkä tärkein käsite. Aloituskurssin voisi rakentaa tämän ympärille, jolloin voidaan kerrata lausekkeiden käsittelyä, piirtää kuvaajia (käsin ja tekniikalla), pohtia funktion abstraktia määrittelyä, määritellä vaikka trigonometriset funktiot (jopa käänteisfunktioineen!), oppia käyttämään laskinta työvälineenä, kurkistaa varovasti sovelluksiin jne. Kaikki hyödyksi sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa.  Hyvin tehtynä voisi auttaa myös siihen, että maa ei olisi täynnä ihmisiä, jotka sanovat etteivät ole koskaan ymmärtäneet matematiikkaa eikä siitä mitään hyötyä ole ollut.

Jospa aloitettaisiin aloituskurssi laskimista ja tietokoneista, kun tämä maailma sellaisia tuntuu käyttävän ja meille niitä tarjoaa. Ehkä niistä olisi jotakin iloa. Seuraavaan tapaan:

-----

Mitä ne näppäimet tekevät?

Ne ovat funktioita: jokin luku sisään, toinen tulee ulos.

Mitä ne funktiot ovat?

Matematiikan tärkein käsite: abstrakti määrittely.

Mistä ne luvut tulevat?

Funktio on määriteltävä: lausekkeella, geometrisesti (trigonometria), havainnoista (lämpötila ajan funktiona tai paikan funktiona), on myös kahden (ja useammankin) muuttujan funktioita tai kokonaislukumuuttujan funktioita, paljon muuta.

Voiko niitä jotenkin nähdä?

Niistä voi piirtää kuvaajia ($\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{R}^?$, empiirinen data, ...).

Mitä kuvaajista voi nähdä?

Tulosta paperille ja ota viivoitin esiin. Mittaa vaikka seuraavia ...

Miksi funktiot ovat niin tärkeitä?

Niitä käytetään sekä sovelluksissa että teoriassa (koronkorko, verotus, resonanssivärähtely, lämpötila aamuisin Helsingissä tai ydinreaktorin sydämessä, alkulukujen tai yo-arvosanojen jakauma, ...).

Mitä se $2^{1/2}$ tarkoittaa, kun laskinkin saa siitä jotakin?

Jos vanhat laskusäännöt pitävät paikkansa, niin $(2^{1/2})^2 = 2$. Siis ...

-----

Kyllä tästä kurssi syntyy. Avaa näköaloja ja opettaa jotakin, joka kantaa hedelmää myöhemmin.  Ei tosin ole aksiomaatikon näkemysten mukainen, mutta aloituskurssin ei pidäkään. Täsmällisyyden paikka on sitten pitkän matematiikan kakkoskurssista eteenpäin.