sunnuntai 20. joulukuuta 2015

Joulutehtävä

Lämmitänpä uudelleen joulunpyhien ratoksi tehtävän, jonka tein TKK:n matematiikan laitoksen joulujuhliin kymmenkunta vuotta sitten. Annettuna on seitsemän kahden muuttujan funktiota ja näiden kuvaajat. Tehtävänä on löytää oikeat parit, ts. mikä on minkin funktion kuvaaja.

Kuvaajat ovat hieman totutusta poikkeavassa muodossa. Yksi näistä on esimerkkinä tämän jutun alussa. Kaikki löytyvät gif-kuvina seuraavista linkeistä:


Funktiot puolestaan ovat

  • a) $x^2 + \tfrac{1}{2}y^2$
  • b) $x^2 - y^2$
  • c) $\dfrac{xy}{x^2 + y^2}$
  • d) $\sin x \sin y$
  • e) $\cos\sqrt{x^2 + y^2}$
  • f) $\arctan(y/x)$
  • g) $\text{Re}(\arcsin(x + iy))$

Kuvaajat ovat ns. single image stereogram -kuvia, joissa stereoparin eri silmille tarkoitetut kuvat on pakattu samaan kuvaan. Kuvissa katsotaan tavanomaista kuvaajaa, ts. pintaa $z = f(x,y)$ positiivisen z-akselin suunnasta. Oikealla tavalla katsottuna kuva hahmottuu kolmiulotteiseksi.

Kuvat kannattanee tulostaa paperille. Periaatteessa ruudulta katsominenkin voi onnistua, mutta on hankalampaa. Kolmiulotteinen vaikutelma syntyy, kun kuvaa katsoo siten, että katse on suunnattu kaukaisuuteen. Itse katson näitä tuomalla kuvan ensin hyvin lähelle ja rentouttamalla tällöin silmät.  Kun sitten siirrän kuvaa kauemmaksi yrittämättä nähdä sitä tarkasti, aivot osaavatkin jossain vaiheessa yhdistää eri silmien kuvat ja kolmiulotteinen vaikutelma syntyy. Tämän jälkeen katsetta voi käännelläkin ilman, että vaikutelma katoaa. Harjoittelu auttaa.

Kuvan yläreunassa kehyksen ulkopuolella on kaksi pistettä, jotka läheltä katsottaessa näkyvät neljänä. Kahden keskimmäisen tulisi sulautua yhteen kolmiulotteisuuden syntyessä.

Kuvat on tehty Mathematicalla käyttäen valmista koodia, tekijänä Roman Maeder. Tämä on Mathematican version 2 mukainen ja tarvitsee pientä korjailua toimiakseen nykyisessä versiossa 10. Uudempaa en ole löytänyt.

Toivotan lukijoille hyvää joulua!