tiistai 31. toukokuuta 2016

Differentiaaliyhtälöitä ja planeettaliikettä lukiolaisille

Planeettaliike: Maa-Kuu-systeemi
Olin toukokuun alussa puhumassa matematiikasta eräässä lukiossa. Kuulijat olivat ykkös- ja kakkosluokkalaisia, tiesivät jotakin vektoreista ja derivaatasta, osa juuri ja juuri. Tarkoituksena oli antaa jonkinlainen mielikuva siitä, mihin oikein kelpaa — esimerkiksi — se matematiikka, jota he ovat opiskelemassa.

Kun kerran derivaattafunktio suurin piirtein tiedettiin, oli mahdollista esitellä differentiaaliyhtälön käsite, katsoa jokin esimerkki tällaisten ratkaisuista ja lähestyä ongelmaa graafisesti. Erotusosamäärän käsite antoi eväät numeerisen ratkaisemisen ymmärtämiseen. Samalla näkyi, miksi alkuehdot ovat tarpeen.

Nopeuden ja derivaatan yhteys likimain tunnettiin, kiihtyvyyden ja toisen derivaatan yhteys oli oudompi. Nopeus ja kiihtyvyys vektoreina ja paikkavektorin derivaattoina olivat uusia asioita, mutta hyppy ei kuitenkaan ollut kovin vaikea uskottavaksi.

Newtonin laki ja gravitaatiolaki antoivat tämän jälkeen mahdollisuuden kirjoittaa differentiaaliyhtälö, itse asiassa differentiaaliyhtälöryhmä, joka kuvaa kahden partikkelin — planeetan — liikettä keskeisvoimakentässä.  Tämän sitten saattoi ratkaista numeerisesti, kun käytettävissä oli riittävän tehokas ohjelmisto, minulla Mathematica. Loppuhuipentumana muutama animaatio, joista alussa oleva kuva on peräisin.

Aikaa oli käytettävissä 80 minuuttia ja esitys muodoltaan luento. Esitin myös kuulijoille muutamia kysymyksiä ja minulta muutaman kerran kysyttiin jotakin. Miten esitystä sitten jaksettiin seurata ja mitä siitä mahtoi jäädä mieleen?

Esitystä seurattiin varsin kiinnostuneina. Aktiivisia vastaajia ja kysyjiä ei tietenkään ollut monia, mutta se mitä sanottiin, keskittyi täysin oleellisiin asioihin. Arvioisin, että pääpiirteissä pysyttiin mukana. Luento ei ehkä olekaan vanhentunut opetusmuoto, kuten toisinaan väitetään, mutta se on toteutettava tavoitteisiin ja kuulijoille sopivalla tavalla.

Yksityiskohtiin en tietenkään voinut mennä: en todistanut lauseita, en edes esittänyt täsmällisiä määritelmiä, en laskenut laskuja läpi. Sen sijaan kerroin, millaisia käsitteitä on, miten niitä voidaan lähestyä ja ajatella, millaisia tuloksia laskuilla saadaan. Yksityiskohtien oppiminen ei ollut tarkoituskaan, vaan antaa jonkinlainen kokonaiskuva ja sen myötä ehkä motivaatio lähteä tarvittaessa opiskelemaan yksityiskohtia.

On myönnettävä, että tein aika paljon töitä esitystä valmistaessani. Minulla oli valmiit pdf-kalvot auditorioesitystä varten, liitutaulua ei käytössä ollut enkä sitä kaivannutkaan.

Matematiikka nähdään usein yksityiskohtien huolellisena puurtamisena ja niiden perustelemisena. Sinänsä tämä on välttämätöntä eikä sitä ole syytä väheksyä, mutta seurauksena on usein matematiikan hahmottuminen tylsäksi ja näköalojen katoaminen. Matematiikan opettamiseen ja opiskeluun tarvitaan muutakin: kokonaisvaltaisempi — ja epätäsmällisempi — ote sen mahdollisuuksien näyttämiseen.

perjantai 6. toukokuuta 2016

Perspektiivinen rautatie

Terra Cognita julkaisee verkkosivuillaan sunnuntaipähkinöitä.  Pähkinä nro 22 julkaistiin 17.4.2016 ja kyseessä oli oheisen kuvan mukainen perspektiiviongelma: Perspektiivikuvassa suoran rautatien kiskot suuntautuvat pisteeseen $O$. Näkyviin on piirretty kaksi ratapölkkyä, $AB$ ja $CD$. Miten on piirrettävä seuraava ratapölkky, kun ne tietenkin ovat tasavälisiä?

Viikkoa myöhemmin esitettiin ratkaisu, oleellisesti sama kuin alla olevassa kuvassa. Ratkaisun avaimena ovat apupisteet $F_1$ ja $F_2$, joiden avulla voidaan piirtää miten monta ratapölkkyä tahansa.

Mutta miksi juuri tämä on oikea ratkaisu eikä jokin muu menettely, joka myös antaisi ratapölkkyjä tihenevästi?

Taiteilijalla on tietenkin vapautensa piirtää perspektiivikuvia näkemyksensä varassa niin kuin haluaa. Jos kuvan säännönmukaisuuksia kuitenkin halutaan tutkia tarkemmin ja muodostaa perspektiivisääntöjä kuvan piirtämiseen, johdutaan luonteeltaan matemaattiseen — geometriseen — ongelmaan. Aluksi on määriteltävä, mitä oikeastaan tarkoitamme puhuessamme perspektiivikuvasta.

Luonnollisinta on ajatella perspektiivikuvan olevan keskusprojektiolla tasopinnalle muodostettu kohteen kuva. Tällöin kolmiulotteisessa avaruudessa on kiinnitettynä piste, projektiokeskus, ja taso, kuvataso. Projektiokeskus ei saa olla kuvatasossa. Kohteessa olevan pisteen kuva löydetään asettamalla suora pisteen ja projektiokeskuksen kautta ja etsimällä tämän leikkauspiste kuvatason kanssa.
Keskusprojektion valitseminen perustuu siihen, että optinen systeemi, kuten ihmissilmä tai kamera, muodostaa kuvan likimain tällä periaatteella.

Perspektiivin geometrinen tutkiminen alkoi varhaisrenessassin aikana 1400-luvulla, jolloin useat taiteilijat kiinnostuivat aiheesta ja seurauksena oli lukuisia maalauksia, joissa perspektiivin ominaisuuksia tutkittiin. Tyypillinen esimerkki on Piero della Francescan työnä pidetty Citta ideale (Ihanteellinen kaupunki) noin vuodelta 1470.  Vuonna 1525 ilmestyi Albrecht Dürerin teos Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen, jossa tutkittiin kuvien muodostamista geometrian pohjalta.  Teoksesta on peräisin tunnettu luutun perspektiivikuvan muodostamista esittävä kuva.

Keskeisimmän perspektiivikuvia koskevan geometrisen tuloksen mukaan kohteen yhdensuuntaisilla suorilla on kuvassa yhteinen pakopiste. Tätä voidaan ajatella suorilla äärettömän kaukana olevan pisteen kuvana, ts. jos suoralla oleva piste etääntyy äärettömän kauas, sen kuva lähestyyy pakopistettä. Tämän mukaisesti rautatien kiskot suuntautuvat tehtävässä pisteeseen $O$.

Ratkaisu perustuu samaan tulokseen. Ratapölkkyjen väliin jäävien yhtenevien suorakulmioiden lävistäjät nimittäin muodostavat kaksi keskenään yhdensuuntaista suoraparvea, jolloin kummallakin on oma pakopisteensä, $F_1$ ja $F_2$. Nämä sijaitsevat horisontiksi kutsutulla suoralla $h$, joka sisältää kaikkien vaakasuorien suoraparvien pakopisteet. Kun $F_1$ ja $F_2$ saadaan määritetyiksi suorien $AD$ ja $BC$ avulla, voidaan piirtää lisää lävistäjäsuorien kuvia ja näiden avulla ratapölkkyjen kuvia.

Jos lukija on lähemmin kiinnostunut perspektiivikuvien geometriasta tai yleisemmin kuvien piirtämisen geometrisista perusteista, suosittelen kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (esim. https://www.booky.fi/tuote/simo_kivela/perspektiivikuvan_geometriset_perusteet/9789525491494).

-------------

Sain Facebookissa kysymyksen:

Jotain on minulta päässyt unohtumaan: miten ratapölkyn A-B suunta määräytyy? Yksi katoamispiste lisää, mutta minne? Niin että näyttää hyvältä?

Ja vastaukseni:

Suunta oli annettu Terra Cognitan tehtävänasettelussa, $AB$ ja $CD$ vaakasuoria. Näin ei tarvitse olla. Ratapölkyt ovat tietenkin yhdensuuntaisia, joten niillä on yhteinen pakopiste Oheisen kuvan tilannekin on siten mahdollinen, ja konstruktio toimii siinäkin. Jos ratapölkyt ovat yhdensuuntaisia, niiden pakopiste on äärettömän kaukana oleva yhdensuuntaisten suorien leikkauspiste. Projektiivinen geometrikko tykkää tällaisista.