tiistai 23. elokuuta 2016

Kokeellisen matemaatikon painajainen

Olen aina toisinaan tallettanut osoitteita matemaattisiin verkkodokumentteihin, jotka mahdollisesti ansaitsevat lähempää huomiota. Muutama päivä sitten tulin uudelleen katsoneeksi blogikirjoitusta, jossa pohdittiin seuraavantyyppisiä integraaleja:
\begin{align*}
I_1 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,dx\,, \\
I_2 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,dx\,, \\
I_3 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,dx\,, \\
I_4 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,\frac{\sin(x/7)}{x/7}\,dx\,, \\
\vdots
\end{align*}
tai yleisemmin
\[
I_n = \int_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{\sin(x/(2k-1))}{x/(2k-1)}\,dx.
\]

Näiden laskeminen ei ole aivan helppoa, mutta matematiikassakin voi harrastaa kokeilua.  Tuloksena voi olla hypoteesi tai vastaesimerkki. Katsotaan siis, suoriutuisiko laskentaohjelma integraaleista ja millaisia tuloksia se antaisi. Mathematica suoriutuu:
\[
I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = I_5 = I_6 = I_7 = \pi/2.
\]
Tämän perusteella tuntuu jo aika selvältä, että tulos on aina $\pi/2$.

Seuraava integraali tuottaa kuitenkin yllätyksen:
\[
I_8 = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi.
\]
Onko asia todella näin vai onko Mathematica yksinkertaisesti laskenut väärin? Numeerisen integroinnin kokeilukaan ei auta, sillä edessä oleva kerroin ei paljoa puolikkaasta poikkea: 15-desimaalinen likiarvo nimittäin on $0.499999999992647$. Numeerisella integroinnilla saattaa olla vaikeata päästä näin suureen tarkkuuteen.

Ei siis liene muuta keinoa kuin pyrkiä laskemaan integraalit analyyttisesti. Tämäkin kyllä onnistuu: työkaluiksi kelpaavat esimerkiksi konvoluutio ja Fourier'n muunnos. Yksityiskohtainen esitys löytyy Hanspeter Schmidin artikkelista: http://www.schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf.  Hakusanoilla 'borwein integral' Google löytää materiaalia enemmänkin.

Lähteenäni ollut blogiartikkeli on osoitteessa http://www.thebigquestions.com/2012/03/26/loose-ends/. Se kertoo myös Jonathan Borweinin Maplelle tekemästä kepposesta (= practical joke).

Niin, laskiko Mathematica siis väärin? Ei laskenut, tulos on aivan oikea. Hieman yllättävä se on, mutta Hanspeter Schmidin artikkeli antaa ilmiölle luontevan selityksen. Indeksistä 8 eteenpäin integraalien arvot hiljakseen pienenevät.

maanantai 8. elokuuta 2016

Lukio ja matemaattinen yleissivistys

Lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan lukiokoulutuksen tehtävänä on yleissivistyksen vahvistaminen. Yleissivistys puolestaan muodostuu arvoista, tiedoista, taidoista, asenteista ja tahdosta. Tätä ei ole aivan helppoa konkretisoida oppiainekohtaisesti, mutta ehkä ei ole aivan väärin sanoa, että yleissivistys on sitä, mikä jää jäljelle, kun kaikki detaljitieto on unohtunut.

Millaisen matemaattisen yleissivistyksen lukio sitten antaa? Pelkään, ettei oikeastaan mitään. Opetussuunnitelman perusteet luettelee joukon detaljeja, jotka kursseissa on käsiteltävä, toisinaan vielä rajaten pois näkökulmia, jotka saattaisivat kehittää ajattelua. Kun detaljit ovat unohtuneet, ei jää jäljelle oikein mitään. Ei ole yllättävää, että monet lukion käyneet myöhemmin sanovat, että eivät ole tarvinneet matematiikkaa mihinkään eikä siitä ole ollut mitään hyötyä.

Historiaakin voisi tietenkin opettaa detaljikokoelmana, mutta onneksi näin ei tehdä. Eivät yksityiskohdat sinänsä ole tärkeitä, mutta ne rakentavat kokonaisuutta ja luovat näkemystä. Samoin pitäisi tapahtua matematiikassa.

Matematiikan opetussuunnitelmaa leimaa ajatus opettaa laskemaan ylioppilaskokeessa esiintyvät laskut. Toki tämä auttaa myös matematiikkaa hyödyntävien alojen jatko-opinnoissa, mutta muiden alojen opiskelijoille hyöty jää vähäiseksi.

Mitä matemaattinen yleissivistys sitten olisi ja miten sen tulisi näkyä lukion opetussuunnitelmassa? Muutamien pääideoiden tulisi hahmottua lukiolaiselle:

Kirjaimilla laskeminen eli algebra. Kyseessä on seuraava askel luvuilla laskemisen jälkeen. Kaavojen käyttö tulee mahdolliseksi, asioita voidaan tutkia sotkeutumatta lukujen muodostamiin erikoistapauksiin, löytyy lähes mekaaninen tekniikka yhtälöiden ratkaisemiseen jne.

Funktio on ehkä matematiikan tärkein käsite. Sen avulla kuvataan asioiden välisiä riippuvuuksia joko numeerisesti, lausekkeilla tai mutkikkaammilla määrittelyillä.  Funktion mallina esitetään usein ns. funktiokone, joka onkin hyvä malli, koska jokaisella oppilaalla on sellainen: laskin.

Geometria opettaa ymmärtämään kaksi- tai kolmiulotteista tilaa. Näkökulmia on kaksi: kulttuurihistoriallisesti tärkeä ja ajattelua kehittävä antiikin kreikkalaisten idea päätellä mutkikkaammat totuudet yksinkertaisempien pohjalta ja paljon myöhemmin syntynyt geometrian ja algebran symbioosi, geometrian hallitseminen laskemalla.

Käsitteellisesti vaativia ovat rajaprosessit: mitä tapahtuu, kun jokin muuttuja lähestyy jotakin jollakin tavoin kriittistä arvoa. Kyseessä on laajan kokonaisuuden lähtökohta: analyysi raja-arvoineen, sarjoineen, derivaattoineen, integraaleineen.  Matematiikan historiaan tämä on ilmestynyt suhteellisen myöhään, vaikka ensimmäisillä sittemmin unohtuneilla ideoilla onkin ikää paljon.

Toisinaan diskreetiksi matematiikaksi kutsuttu hieman diffuusi kokonaisuus: kombinatoriikka, (abstrakti) algebra, logiikka, jolla on kasvava merkitys digitaalisessa maailmassa.

Tietotekniikan käyttöä en pääideoihin sisällytä. Sen tulee olla tavanomainen apuväline kaikessa työskentelyssä, mutta ainakaan toistaiseksi se ei ole merkittävä osa varsinaista matematiikkaa.

Selvyyden vuoksi lienee syytä sanoa, että edellä sanottu ei ole tarkoitettu opetussuunnitelmaksi. Kyseessä ovat käsitteellisesti merkittävät asiat, joiden tulisi olla opetussuunnitelman laatimisen lähtökohtana ja antaa opetussuunnitelmalle tietty ryhti. Kurssijaon ja -sisältöjen muodostaminen on tämän jälkeen oma tehtävänsä, joka ei ole aivan helppo.