keskiviikko 16. elokuuta 2017

Kävin kirjakaupassa

En ostanut kuvan kirjoja eikä niitä kaupassa ollutkaan. Ovat omasta hyllystäni.

Etsiydyin kirjakauppaan. Sehän ei enää hienossa (in spe) Espoon Tapiolassa sijaitse katutason kulkureittien varrella vaan kauppakeskuksen syövereissä.  Poikkeaminen ohi kulkiessa ei ole helppoa.

Tapani mukaan katsoin muun ohella, mitä matematiikasta ja luonnontieteistä on tarjolla. Ei juuri mitään. Tähtitiedettä on, kiitos Ursan, joka on jo pitkään popularisoinut alaansa erinomaisesti. Matematiikasta on vain koulukirjoja. Silmäilin niitäkin. Aika tylsän kuvan matematiikasta antavat. Kuka voisi kiinnostua, jos henki on 'tee näin, niin ylioppilastutkintolautakunta antaa pisteitä'. Voiko edes lukiolainen kiinnostua — aidosti?

Vertailu Ursaan ei tietysti ole reilu. Tähtitiedehän ei — onneksi — ole kouluaine, jolloin siitä kiinnostutaan aidosti ja kirjat suunnataan harrastajille. Matematiikkaa rasittaa sen asema tärkeäksi julistettuna kouluaineena, jolloin sitä ei muusta näkökulmasta herkästi nähdä. Ehkä silti voisi yrittää ja pyrkiä julkaisemaan kirjoja harrastajille lukion kurssijako ja ylioppilaskoe unohtaen.

Verkkolehti Solmu on aikojen kuluessa julkaissut melkoisen määrän matematiikkaa käsitteleviä artikkeleita. Olisiko aika koota näistä kirja 'Solmun parhaat'? Verkossa olevat artikkelit ovat jollakin tavoin hajallaan eikä niitä lueta samalla tavoin kuin kirjaa puhumattakaan siitä, että annettaisiin lahjaksi.

Toimitustyötä kirjan koostaminen vaatisi. Matemaatikko herkästi kirjoittaa aika tiivistä tekstiä ja on tyytyväinen, kun asia on tullut täsmällisesi sanotuksi. Tekstin ymmärtäminen jää lukijan vastuulle.  Kirjan pitäisi olla ihmisystävällisempi senkin uhalla, että täsmällisyyteen jää toivomisen varaa. Siinä on haastetta toimittajalle.  Ja matemaatikkopiireille: minun on vaikeata uskoa, että toimittamisesta voisi selvitä ilman matemaatikkotaustaa.

Kirjojen saaminen myyntiin ns. kivijalkakirjakauppoihin voi olla vaikeata, vaikka Ursa onkin aika hyvin onnistunut. Ehkä maailma on muuttunut siten, että kirjoja pitää oppia etsimään verkkokirjakaupoista.

Jos kielen ei tarvitse olla suomi, löytyy verkkokirjakaupoista, vaikka Amazonilta runsaasti myös matemaattista kirjallisuutta. Ongelmana on usein kiinnostavan kirjan löytäminen runsaasta tarjonnasta. Esittelyjen ja arvostelujen julkaiseminen olisi avuksi, vaikka monet verkkokirjakaupat tarjoavatkin mahdollisuuden selata ainakin joitakin kirjan sivuja.  Esittelyjä vain pitäisi kirjoittaa ja julkaista. Voisiko Solmulla olla kumuloituva kirjallisuuspalsta, josta esittelyt olisivat helposti löydettävissä?

Kirja tarvitsee kustantajan. Omakustantajakin on kustantaja, mutta asiansa jo valmiiksi osaava kustantaja olisi tietenkin parempi. En yritä listata mahdollisuuksia, mutta kiinnostuneet voivat ilmoittautua.

sunnuntai 30. heinäkuuta 2017

How to slay dragons


Lueskelin American Mathematical Societyn Notices-lehden kesä-heinäkuun numeroa, jossa on myös matematiikan opettamista koskeva artikkeli What Is Inquire-Based Learning? (http://www.ams.org/journals/notices/201706/rnoti-p570.pdf).

Matematiikan opettamisen ongelmat tuntuvat olevan paljolti samanlaisia kaikkialla maailmassa, mutta yhden maan ratkaisuja ei kuitenkaan yleensä voi sellaisinaan siirtää toiseen maahan. Jotakin niistä kuitenkin voi oppia ja tuulettaa niiden avulla omia ajatuksiaan. Artikkelissa viitataan muun ohella sivustoon http://math.colorado.edu/activecalc, josta löytyy esimerkiksi funktioiden kuvaajia käsittelevä tehtävä http://math.arizona.edu/~calc/m124/Equations.pdf. Annettuna on neljä melko yksinkertaista funktiota ja ohjeistuksena 'Use your graphing calculator to graph each of the following functions. Use your mathematical skills to determine the real characteristics of the function. Does your calculator show these features?  Include detailed sketches.' Teknologian käyttöä siis.

Esimerkkifunktioista ei kuitenkaan selvitä antamalla vain piirtokomento. Laskin ei välttämättä näytä kaikkia kuvaajan oleellisia piirteitä, joten käyttäjän tulee suhtautua tulokseen kriittisesti ja tutkia asiaa lähemmin käyttämällä laskintaan työvälineenä ja yhdistämällä tähän matemaattiset tietonsa. Laskinta ei siis voikaan käyttää mustana laatikkona, joka antaa totuuden, vaan luovuutta vaativana työvälineenä.  Meillä saattaisi Suomessa olla opittavaa.

Selasin myös Solmussa ilmestynyttä Markku Halmetojan kokoelmaa Sata lukion matematiikan tehtävää (http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/sata.pdf). Ansiokas kokoelma, jossa esipuheen mukaan 'kantavana periaatteena on ollut välineistä riippumattoman matematiikan esilläpito'. Joukossa on kuitenkin monia tehtäviä, joissa mahdollisesti hieman muunnettuina voitaisiin hyödyntää teknologiaa järkevällä tavalla. Esimerkkinä tehtävä 53, jossa pyydetään määrittämään funktion $f(x) = e^x + e^{-x} - x^2$ ääriarvot. Lisätään tähän kerroin, $f(x) = e^x + e^{-x} - a x^2$, ja pyydetään tarkastelemaan ääriarvoja, kun $0.8 < a < 1.2$.  Lähtökohtana voi piirtää kuvaajia, laskea ääriarvokohtia numeerisesti sopivilla $a$:n arvoilla ja tapaus $a = 1$ vaatii edelleen saman huomion kuin ennenkin.

Tällä tavoin painottuisi matematiikan käyttö työvälineenä, eikä kyse olisi sen ainoan oikean ratkaisun etsimisestä, jonka opettaja tietää. Matematiikka voisi alkaa näyttää hyödylliseltä myös niille, joiden ensisijainen mielenkiinto ei ole matematiikassa sinänsä.

En oikein voi mitään sille, että Halmetojan kokoelma tuo mieleeni 70-luvulla talteen ottamani kirjamainoksen, joka on tämän jutun alkukuvana. Totuuden siemenhän tässä on.  Eikä Halmetoja (eivätkä monet muutkaan) ole mitenkään huonossa seurassa: Dschuang Dsi (Zhuangzi) oli neljännellä vuosisadalla eaa. elänyt taolainen filosofi eikä René Thomkaan (1923-2002) mitätön matemaatikko ole. En ole mainokseen kirjoittanut sen lähdettä, mutta internetin ihmemaasta se löytyy hakusanoilla 'dschuang dsi rene thom'. Kuva (ja runo) on Th. Bröckerin ja L. Landerin kirjassa Differential Germs and Catastrophes (Cambridge University Press, 1975) sisällysluettelosivun kääntöpuolella.

keskiviikko 28. kesäkuuta 2017

Talon nurkka ja GPS


Merkittiin kesämökillä maastoon suunnitellun uuden talon paikkaa.  Mittaukset narulla, jossa oli merkit kolmen metrin välein. Suorakaide saatiin merkityksi, lävistäjämitatkin olivat yhtä suuret.

Lupa-anomukseen tarvitaan karttapiirros, joten suorakulmion kärjet täytyy viedä kartalle. Yksinkertaisinta on tietenkin mitata etäisyyksiä tunnetuista karttapisteistä, mutta mieleen juolahti kokeilla, miten pitkälle modernilla tekniikalla ja matematiikalla pääsee.

GPS-kännykkäsovellus lupaa sijaintipisteen maantieteelliset koordinaatit — pituuden ja leveyden — parhaimmillaan kolmen metrin tarkkuudella. Ei oikein riittävältä tunnu, mutta ainahan voi yrittää. Mitattiin siis GPS:llä talon neljä nurkkaa, talletettiin arvot kännykän muistiin ja lähetettiin sähköpostilla kotitietokoneeseen laskemista varten. Työvälineenä oli käytettävissä laskentaohjelma Mathematica.


Maantieteellisten koordinaattien avulla ei voi suoraan tutkia kuvion suorakulmaisuutta, koska leveysasteen pituus ja pituusasteen pituus eivät ole yhtä suuria. Pallokoordinaattimuunnoksella (missä $r$ on maapallon säde, $\vartheta$ leveysaste ja $\varphi$ pituusaste)
\[ \begin{aligned}
x &= r\cos\vartheta\cos\varphi\ ,\\
y &= r\cos\vartheta\sin\varphi\ ,\\
z &= r\sin\vartheta\
\end{aligned} \]
saadaan kuitenkin vastaavat suorakulmaiset avaruuskoordinaatit, jolloin tiedetään avaruusnelikulmion kärkien koordinaatit. Nelikulmio sijaitsee likimain tasossa, kyseisen mökkitontin horisonttitasossa. Sen sivujen pituuksia ja kulmien suuruuksia laskemalla voi tutkia, onko kyseessä suorakulmio.

Ei ollut, mutta muutaman metrin tarkkuudella oikeat sivujen pituudet kyllä saatiin. Enempää ei toki voinut toivoakaan, koska jo lähtöarvoissa oli epätarkkuutta muutaman metrin verran.

Avaruuskoordinaatit eivät sellaisinaan auta mökin paikan piirtämistä kartalle, vaan on laskettava karttakoordinaatit jossakin sopivassa järjestelmässä. Tämä vaatii jo enemmän kartoittajan tietoja, mutta Maanmittauslaitos tarjoaa työkalut koordinaatistomuunnoksiin: http://coordtrans.fgi.fi/transform.jsp. Sähköpostilla lähetetyt koordinaatit saattoi syöttää sovellukselle suoraan tiedostosta (kuten Mathematicallekin), ja tuloksena olevat karttakoordinaatitkin saatiin suoraan tekstitiedostoon. Digitalisaatio alkaa toimia.

Mökin pohjan olisi siis voinut piirtää karttaan, jos kännykkä-GPS olisi antanut tarkemmat arvot. En tiedä, miten suureen tarkkuuteen nykyään on mahdollista GPS:llä päästä. Joko kiväärin luodin voi ohjata silmien väliin? Sotilaalliset tavoitteethan tuottavat innovaatioita ihmiskunnalle.

Mitä tästä kokeilusta tulisi oppia matematiikan opettamisen kannalta?  Ainakin seuraavaa:
  • Avaruusgeometria on asioiden hahmottamisen kannalta tärkeää.
  • Pallokoordinaatit ja niiden muuntaminen ei ole lukiolaiselle mitenkään ylivoimaista. Avaruuskuvioita täytyy osata hahmottaa, trigonometrisia funktioita käyttää. Tällöin jo aukeaakin tie moniin reaalimaailman ongelmiin.
  • Karttakoordinaattien ymmärtäminen kuuluu yleissivistykseen. Tiettyä henkistä joustavuutta tarvitaan: Pohjoiskoordinaatti esitetään ensin, sitten itäkoordinaatti. Edellinen kasvaa ylöspäin, jälkimmäinen oikealle.  Siis toisinpäin kuin $x$ ja $y$. (Tein kerran ylioppilastehtävän, jossa piti laskea jotakin sijaintia Helsingin edustalla oikeilla karttakoordinaateilla. Sain opettajakunnalta kritiikkiä siitä, että koordinaatit esitettiin päinvastaisessa järjestyksessä kuin tutut $x$ ja $y$. Opimme ylioppilaskoetta, emme elämää varten.)
  • Laskentaohjelma on hyvä työkalu. Edellä kuvattujen asioiden laskeminen käsin olisi tylsää ja virhealtista. Oleellista on hahmottaa kokonaisuus ja mitä ollaan tekemässä. Sen jälkeen kone tekee työt. Numeeriset ominaisuudet ovat lukiotasolla tärkeämpiä kuin symboliset. Digitalisaatio muuttaa myös koulua. Tai ainakin sen pitäisi, järkevään suuntaan.

sunnuntai 18. kesäkuuta 2017

Matematiikan vaellusretket


Julkaisin viime helmikuussa matematiikkaa popularisoivan kirjan Vaellusretkiä matematiikkaan, omakustanne, 210 sivua, 25 toisistaan riippumatonta artikkelia. Saatavana verkkokirjakaupoista tai suoraan minulta. Tarkempia tietoja on verkkosivulla http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html.

Painos oli 150 kappaletta, joista tällä hetkellä on jäljellä neljä.  Lisäkappaleita on tilattu 50. Tiedossani on kolme arviointia:

Matti Lehtinen verkkolehti Solmussa, http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/2/vaellusretkia.pdf

Aaro Salosensaari blogissaan, https://aqsalose.kapsi.fi/blog/book-vaellusretkia.html

Petri Laarne blogissaan, http://www.nollakohta.fi/2017/05/lukuvinkki-vaellusretkia-matematiikkaan.html

Tekijälle on aina miellyttävää, kun joku on paneutunut tuotokseen ja innostuu kommentoimaan. Mainituissa arvioineissa nostetaan esiin näkökohtia, jotka ansainnevat enemmänkin pohdiskelua. Omina kommentteinani seuraavaa:

Kirjaani luonnehditaan hieman vaativaksi ja harvinaisuudeksi suomalaisessa ympäristössä. Ehkä näin on, mutta vastaavanlaisia artikkeleita kyllä löytyy ainakin verkkolehti Solmusta (http://matematiikkalehtisolmu.fi/). Tässä on vastakkain perinteinen kirja ja digimaailma. Miten nykyään pitäisi julkaista?

Verkkomateriaali on helposti saavutettavissa ainakin, jos se ei ole maksumuurin takana. Usein se kuitenkin muodostaa aika sekavan kokoelman, jota voi silmäillä, mutta jonka jäsentäminen on vaikeata. Kirjaan kuuluu jotenkin luonnostaan selkeämpi jäsennys. Kirja on enemmän olemassa: Sen voi antaa lahjaksi vaikka tuoreelle ylioppilaalle. Nettiosoitteen antaminen ei oikein tunnu samalta sen enempää saajalle kuin antajallekaan.

Kirjasta joutuu maksamaan, nettimateriaalin ilmaisuuteen on totuttu. Vaikka tekijä tietenkin onkin palkkansa ansainnut, ei kummastakaan vaihtoehdosta korvausta työlleen saa. Hyvä kun saa kirjan painolaskun kuitatuksi.

Kun kirjassa on 25 artikkelia, on selvää, että se ei voi antaa minkäänlaista yleisempää kuvaa 'mistä matematiikassa on kysymys ylioppilaskirjoitusten vaatimusten tuolla puolen' (Aaro Salosensaaren erinomainen formulointi).  Yhden henkilön projektiksi tällaisen kuvan antaminen olisi aika vaativa.  Voisikin kysyä, löytyisikö useita henkilöitä puhaltamaan yhteiseen hiileen, kukin oman asiantuntemuksensa mukaan.

Kirjani kunkin artikkelin lopussa on muun ohella verkkoviitteitä jatkolukemiseen.  Näiden osoitteet saattavat olla pitkiäkin, eikä niiden naputteleminen selaimeen kovin hauskaa ole. Myönnän kritiikin aiheelliseksi ja tarjoan apuvälineen: pdf-tiedosto http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmatViitteet.pdf sisältää artikkelien loppuhuomautukset aktiivisine linkkeineen.

Kommentoijia kiitän.

sunnuntai 28. toukokuuta 2017

Suuteleva ympyrä

Ellipsi (sininen) ja sen kaarevuuskeskipisteiden ura (punainen).
Lisäksi yksi suuteleva ympyrä.
Jos kahden käyrällä olevan pisteen kautta asetetaan suora — käyrän sekantti — ja pisteiden annetaan sen jälkeen lähestyä toisiaan, suora muuttuu käyrän tangentiksi. Mitä tapahtuu, jos käyrällä onkin kolme pistettä, jolloin ne ainakin yleensä määräävät ympyrän, ja sitten annetaan pisteiden yhtyä yhdeksi pisteeksi? Miten ympyrä muuttuu?

Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävässä 15 on käsitelty vahvasti yksinkertaistettua ongelman erikoistapausta, mutta yleinen tilannekaan ei ole kovin hankala symbolisella ohjelmalla laskettuna.

Yleisessä tapauksessa on luontevinta käyttää käyrälle parametriesitystä: $x = u(t)$, $y = v(t)$, missä $t$ on parametri. Käyrällä olevat kolme pistettä voivat tällöin olla $(u(t-h),v(t-h))$, $(u(t),v(t))$ ja $(u(t+h),v(t+h))$. Pisteiden yhtyminen merkitsee, että $h$ lähestyy nollaa.

Ympyrän yleinen yhtälö on muotoa $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Kolmen pisteen tulee toteuttaa tämä yhtälö, jolloin saadaan ehdot
\[\left\{
\begin{aligned}
&(u(t-h) - a)^2 + (v(t-h) - b)^2 = r^2\,, \\
&(u(t) - a)^2 + (v(t) - b)^2 = r^2\,, \\
&(u(t+h) - a)^2 + (v(t+h) - b)^2 = r^2\,.
\end{aligned}\right.\] Tämä on yhtälöryhmä, josta voidaan ratkaista $a$, $b$ ja $r$. Tuloksena on yksi ratkaisu, mutta lausekkeet ovat hieman monimutkaisia. Muuttujina ovat $t$ ja $h$.

Tämän jälkeen pitäisi muodostaa raja-arvot, kun $h \to 0$. Symbolisella ohjelmalla tämä on yleensä ongelmatonta, jos kyseessä on tietty käyrä, ts. $u(t)$ ja $v(t)$ ovat tunnettuja funktioita. Ympyrän keskipiste $(a,b)$ ja säde $r$ saadaan tällöin käyräparametrin $t$ funktioina. Kyseessä on parametriarvoa $t$ vastaava käyrän kaarevuusympyrä, jota myös oskuloivaksi ympyräksi kutsutaan (latinan verbistä osculari, suudella). Tämän säde on käyrän kaarevuussäde ja sen käänteisarvo käyrän kaarevuus kyseisessä kohdassa.

Esimerkiksi parametriesitys $u(t) = \cos(t)$, $v(t) = \frac{1}{2}\sin(t)$ esittää ellipsiä. Tällöin saadaan
\begin{align*} r(t) &= \tfrac{1}{8\sqrt{2}}\,(5 - 3\cos(2t))^{3/2}\,, \\a(t) &= \tfrac{3}{4}\cos(t)^3\,, \\b(t) &= -\tfrac{3}{2}\sin(t)^3\,.\end{align*} Funktiot $a(t)$ ja $b(t)$ puolestaan muodostavat erään käyrän parametriesityksen. Tämä on alkuperäisen ellipsin kaarevuuskeskipisteiden ura eli evoluutta. Kuva artikkelin alussa.

Jos $u(t)$ ja $v(t)$ eivät ole tunnettuja funktioita, vaan merkitsevät vain yleisesti käyrän parametriesitystä, ei rajaprosessi $h \to 0$ onnistu symbolisella ohjelmalla. Tällöinkin funktioille $a(t)$, $b(t)$ ja $r(t)$ voidaan kyllä johtaa yleiset lausekkeet, mutta nämä sisältävät funktioiden $u(t)$ ja $v(t)$ derivaattoja. Symbolinen ohjelma ei — aivan oikein — oleta, että esiintyvät tarkemmin määrittelemättömät funktiot olisivat derivoituvia, ja tällöin raja-arvoa ei saada muodostetuksi.

Ohjelmasta riippuen kiertotienä voi olla Taylorin kehitelmän käyttäminen, esimerkiksi
\[u(t+h) = u(t)+ hu'(t) + \tfrac{1}{2}h^2u''(t) + \tfrac{1}{6}h^3u'''(t) + O(h^4).\] Tällöin ohjelmalle annetaan lupa derivaattojen käyttämiseen ja lisäksi helpotetaan raja-arvon laskemista. Tällä tavoin esimerkiksi Mathematica suoriutuu tehtävästä. Tuloksena saadaan hieman monimutkaiset kaavat, joita en tässä toista. Löytyvät yleensä perusoppikirjoista.

Yleensä kaarevuustarkastelut johdetaan oppikirjoissa toisella tavalla. Yhdestä klassikosta, Ernst Lindelöfin kirjasta Differentiali- ja integralilasku ja sen sovellutukset I menettelyn idea kuitenkin löytyy. Aivan ongelmaton ei asia ole. Edellä pisteet valittiin symmetrisesti parametriarvon $t$ eri puolilta. Jätän pohdittavaksi, mitä tapahtuu, jos symmetriaa ei olekaan ja pisteistä kaksi lähestyy kolmatta toisistaan riippumatta.

torstai 4. toukokuuta 2017

Digimateriaalien ihanuus ja kurjuus

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön $y' = t^2 - y^2$ suuntakenttä ja ratkaisuja DiffEqWebissa.
Opintoihini Helsingin yliopistossa 60-luvulla kuului differentiaaliyhtälöiden alkeiskurssi. Kyse oli lähinnä integrointitempuista, joilla haettiin ratkaisun lauseke niissä tilanteissa, missä se oli mahdollista. Jokunen graafinen esityskin toki piirrettiin, mutta varsin työläitähän ne olivat.

Vuosituhannen loppuun mennessä tietotekniikan kehitys mahdollisti helpomman graafisten esitysten piirtämisen, jolloin ratkaisujen kvalitatiivisten ominaisuuksien hahmottaminen tuli ymmärrettävämmäksi. Johdin tuolloin Teknillisessä korkeakoulussa MatTa-projektia, jonka puitteissa kehitettiin työkalu sekä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön että korkeampien kertalukujen yhtälöiden tai yhtälöryhmien havainnollistamiseen.

Ensimmäinen versio perustui Matlab-ohjelmaan (nimenä DiffEqLab), mutta vuonna 2001 projektissa työskennelyt Mika Spåra koodasi verkkoselaimessa toimivan Java-sovelman (appletin), nimeltään DiffEqWeb. Ratkaisut laskettiin numeerisesti ja eri numeerisia menetelmiä oli mahdollisuus vertailla. Differentiaaliyhtälöiden opetuksessa saatettiin kiinnittää huomiota ratkaisujen yleisiin ominaisuuksiin ja olemassaoloon sekä numeerisen laskennan mahdollisuuksiin.  Kyseessä ei enää ollut yksinomaan integrointiharjoitus.

DiffEqWeb on edelleen saatavissa osoitteessa http://matta.hut.fi/matta/dew/dew.html, mutta sovelmat eivät enää selaimessa toimi. Java-koodi kyllä on edelleen pätevää, mutta tietoturvasyistä selain ei salli sen ajamista.  Tämän saattoi ehkä kiertää luokittelemalla MatTa-palvelimen turvalliseksi Javan ohjauspaneelissa, mutta ainakaan Firefoxin uusimmissa versioissa tämäkään ei enää ole mahdollista. Paketin päivitystä siis tarvittaisiin.

Yksi kiertotie vielä on: Paketin voi ladata omalle koneelle osoitteesta http://matta.hut.fi/matta/dew/. Kun koneelle asennetaan Java Development Kit, voidaan koodi ajaa Java Applet Viewerilla. Tämä ei toki ole mikään tavallisen käyttäjän menettely.

Tilanne on digimateriaaleille aika luonteenomainen. Tekniikan kehitys (sitähän virukset ja verkkohyökkäyksetkin ovat) vanhentaa materiaalit aika nopeasti. Itse asiassa viisitoista vuotta on tavattoman pitkä ikä digimateriaaleille. Toisin kuin kirjoille. Digimateriaalien tekeminen tarkoittaakin sitoutumista päivityskierteeseen tai uusien versioiden tekemiseen. Toki samalla on aina mahdollisuus parannuksiin ja laajennuksiin.  Tämä on kehitystä, mutta jatkuvaa työpanosta tarvitaan.

DiffEqWeb ei tietenkään ole maailman ainoa paketti differentiaaliyhtälöiden havainnollistamiseen. Monia kuitenkin vaivaavat samat ongelmat: kehitys on jäänyt puolitiehen eikä päivityksiä ei ole jaksettu tehdä. Paketin ylläpito ja kehittäminen on myös arvo sinänsä: se opettaa uskomattoman paljon tietotekniikasta, matematiikasta ja pedagogiikasta.

En aio enää itse paneutua DiffEqWebin kehittämiseen. Lähdekoodit ovat tallessa ja käytettävissä, jos jollakulla on intoa.  Haasteena voisi myös olla vastaavan tekeminen modernimmilla välineillä ja tekniikoilla, vaikkapa GeoGebraa käyttäen.  Paljon on kyllä ilmeisesti tehtykin.

DiffEqWeb: van der Polin yhtälön ratkaisuja faasitasossa ja ajan funktioina.

lauantai 15. huhtikuuta 2017

Kummallinen ylioppilastehtävä

Pulssikäyrään sovitettu toisen asteen interpolaatio

Kevään ylioppilaskirjoitusten lyhyen matematiikan kokeen tehtävä 12 on hieman ihmetyttänyt minua. Lähtötietona on koehenkilön pulssia urheilusuorituksen aikana kuvaava käyrä.  Lähteeksi mainitaan YTL, mutta tehtävänannosta ei ilmene, onko kyseessä todellinen mittaus. Ehkä joku lautakunnan jäsen on käynyt lenkillä.

Tehtävänannon mukaan Kalle ja Leena tekevät biofysiikan perusteiden harjoitustyötä, ja heidän tehtävänään on määrittää pulssikäyrän paikalliset minimikohdat. Kalle ehdottaa derivaatan nollakohtien määrittämistä tätä varten, mutta Leena ei hyväksy ajatusta, koska käyrässä on myös alaspäin suuntautuvia kärkiä. Tehtävän c-kohdassa tulee arvioida Kallen ehdotusta ja Leenan kritiikkiä.

Lautakunnan julkaisemien hyvän vastauksen piirteiden mukaan menetelmän vikana on, että kärkien kohdalla derivaatan merkki muuttuu, ilman että derivaatta saa välissä arvoa 0. Derivaatan avulla ei siis löydetä ainakaan kaikkia minimikohtia.

Tämäkö nyt sitten on menetelmän ongelmana? Käyrähän ilmeisesti perustuu diskreetisti mitattuihin arvoihin, lähinnä kai aikaeroihin peräkkäisten sydämen lyöntien välillä. Mistä tällöin saadaan se derivaatta, jonka nollakohtia voisi yrittää etsiä? Datapisteisiin voidaan tietenkin sovittaa interpolaatiopolynomi tai ehkä splini. Lyhyen matematiikan lukija saattaa ajatella, että tietokone viisaudessaan löytää funktiolle lausekkeen.

Ei kai se näin voi mennä. Jos lähtökohtana on numeerinen data, minimikohtia on etsittävä analysoimalla tätä dataa eikä yritettävä sovittaa dataan jotakin lauseketta, joka mahdollisesti voitaisiin derivoida. Tällaista ei voida välttämättä lainkaan löytää, ellei taustalla ole jotakin teoriaa, joka ennustaa käyrän periaatteellisen muodon. Tehtävä antaa siten väärän kuvan matematiikan soveltamisesta.

Taustana lienee, että derivaattaa käsitellään lyhyessä matematiikassa ja silloin sille on tarpeen löytää sovelluskohteita. Laskentaohjelmien käytössäkin on symbolinen laskenta noussut numeerista tärkeämmäksi.  Derivoidaan siis mieluummin kuin analysoidaan dataa.  Taulukkolaskenta voisi usein olla paremmin paikallaan kuin itsetarkoituksellinen symboliikka.

Odottaisin tehtäviltä suurempaa rehellisyyttä. Ei lukiolaisia pidä huijata uskomaan matematiikan käyttökelpoisuuteen, vaan näyttää sen käyttökelpoisuus todellisissa yhteyksissä. Näennäissovellukset vain tukevat käsitystä, ettei matematiikasta mitään todellista hyötyä ole.

sunnuntai 12. maaliskuuta 2017

Colosseumin eksentrisyys ja GeoGebra


Jonkin ohjelmiston käyttökelpoisuutta on usein hyvä yrittää testata ongelmalla, jossa todennäköisesti joudutaan ohjelmiston mahdollisuuksien rajoille. Ratkaisu ehkä voidaan löytää, mutta matkalla törmätään ohjelmiston ongelmakohtiin ja rajoituksiin.

Googlelta löytyy hyvä ilmakuva Rooman Colosseumista. Ääriviiva näyttää ellipsiltä. Miten tarkoin se on? Jos se on, niin mikä olisi eksentrisyys?

Kuvan saa vaivatta luetuksi GeoGebraan. Ellipsi tulee määrätyksi, jos tunnetaan viisi pistettä sen kehältä. GeoGebrasta löytyy valmis työkalu, ja naputtelemalla viisi pistettä Colosseumin reunalta saadaan piirretyksi ellipsi, joka hämmästyttävän hyvin yhtyy reunaan. Mitenkähän Colosseumin arkkitehti on rakennelman suunnitellut?

Seuraavassa käsittelen vain kuvassa olevaa ulompaa ellipsiä. Tämän yhtälö $c$ löytyy GeoGebran algebraikkunasta. Yhtälön avulla voidaan hakea ellipsin keskipiste, akselit ja eksentrisyys. Käytössä ovat grafiikka-, algebra- ja CAS-ikkunat. Laskenta voi ehkä olla yksinkertaisempaakin, joten otan mielelläni vastaan kommentteja.

Pohjana on analyyttinen geometria sellaisena kuin sitä aikoinaan yliopistoissa opetettiin. Nykyään ei enää. Referenssinä voi käyttää vanhoja yliopistotason oppikirjoja, joiden uusimmassa päässä on oma kirjani Algebra ja geometria.  En esitä seuraavassa teoriaa enkä perustele yhtälöiden muodostamista.

Geogebratiedosto sekä algebra- ja CAS-ikkunoiden pdf-kuvat löytyvät linkeistä http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseum.ggb
http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseumAlg.pdf
http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseumCAS.pdf

CAS-laskennan riveillä 1--4 on määritetty ellipsin keskipiste. Riveillä 5--6 on muodostettu ellipsin yhtälön toisen asteen osan, neliömuodon matriisi $a$. Riveillä 7--8 määritellyt vektorit ovat probleeman tuntemattomat, jotka tarkoittavat pääakselisuuntia. Näille muodostetaan neljä yhtälöä (rivit 9--12): Ensimmäinen vaatii, että kyseessä ovat liittosäteet. Toisen mukaan näiden tulee olla kohtisuoria, jolloin ne ovat akselisuuntia. Kolmas ja neljäs vaativat, että vektoreiden päätepisteet ovat ellipsin kehällä, kun alkupiste on ellipsin keskipisteessä.

Neljän tuntemattoman ja neljän epälineaarisen yhtälön ryhmän ratkaiseminen onnistuu rivillä 13 ja saadaan kahdeksan ratkaisua. Nämä ovat oleellisesti samoja ja eroavat ainoastaan vektoreiden järjestyksen ja vastakkaisuuden suhteen. Kun akselit tunnetaan, niiden pituudet ja eksentrisyys voidaan laskea (rivit 14--18). Colosseumin ulkokehän eksentrisyys on 0.60.

Ratkaiseminen siis onnistui. Millaisia olivat kokemukset?

Yrityksiä ja erehdyksiä tarvittiin paljon. GeoGebran dokumentaatiosta ei ollut aivan helppoa löytää tarjolla olevia funktioita tai komentoja ja niiden käyttöä tai merkitystä. Muutaman kerran GeoGebra kaatui ja hukkasi kaiken siihen mennessä lasketun. Aloinkin tallettaa tiedoston parin kolmen operaation välein.

Eksentrisyyden laskemisessa tuli yllätys. Laskua varten täytyy tietää, kumpi akseli on iso ja kumpi pieni. Useamman kerran laskettaessa tuli vaihdellen oikea tulos ja kompleksinen arvo. Syynä on, että GeoGebra ilmeisesti laskee ajoittain yhtälöryhmän ratkaisun uudelleen ja tulokset tulevat eri järjestyksessä.  Tämä johtaa ison ja pikku akselin roolien vaihtumiseen. Koodissa siis pitäisi testata, kumpi vektorinpituus on suurempi ennen eksentrisyyden laskemista.  Toisinaan yhtälöryhmälle tuli myös virheellinen ratkaisu.

Kyse on periaatteessa siitä, onko laskentadokumentti dynaaminen ja mikä muutos aiheuttaa sen uudelleen laskemisen. Luontevinta ehkä olisi, että se lasketaan uudelleen vain käyttäjän nimenomaisesta käskystä.

Laskenta on tehty paikallisesti asennetulla GeoGebralla. Verkkoversiossa en saanut yhtälöryhmän ratkaisua onnistumaan.

Luonteva ajatus olisi pakata laskennan vaiheet makroksi, jolla olisi yksi argumentti, nimittäin ellipsi, jota lähdetään tarkastelemaan. Tällöin saataisiin vähällä vaivalla esimerkiksi Colosseumin sisemmän ellipsin eksentrisyys.  GeoGebrassa voidaan tehdä komentoja sisältäviä skriptejä, jotka käynnistetään esimerkiksi painikkeesta. En kuitenkaan löytänyt tapaa antaa näille argumenttia (parametria). Joko se ei ole mahdollista tai dokumentaatio oli minulle liian vaikeaa.

GeoGebra on monessa suhteessa näppärä työkalu, mutta CAS-osio ei ole täysin onnistunut. Yksinkertaiset tehtävät kyllä sujuvat, mutta mahdollisuutta kasvaa sen mukana vaativampiin tehtäviin ei oikein ole. Sääli.

perjantai 3. maaliskuuta 2017

Matematiikan kai pitäisi olla matematiikkaa



Ymmärtämätön CAS-ohjelmistojen käyttö lukiomatematiikassa saattaa uhata matematiikan oppimista. Oheinen GeoGebra-kuvio voisi olla vastaus tehtävään, jossa annetaan yksi taso yhtälön avulla ja toinen kolmen pisteen avulla. Tehtävänä on määrittää toisenkin tason yhtälö ja tasojen välinen kulma.

GeoGebrassa niin kuin monessa muussakin CAS-ohjelmassa on tarjolla valmiita funktioita: Plane (suomeksi Taso) antaa tason yhtälön, kun argumentteina on kolme tason pistettä. Angle (Kulma) antaa tasojen välisen kulman radiaaneissa, kun argumentteina ovat yhtälöiden kertoimista saadut lukukolmikot. Tehtävän ratkaisemiseen riittää tietää, millaisia GeoGebra-funktioita on käytettävissä, niiden sisällä olevasta matematiikasta ei tarvitse tietää mitään. Radiaanit muunnetaan asteiksi maagisen näköisellä tempulla: kirjoitetaan kulman perään $/^\circ$.

Eihän tämä ole matematiikkaa. Kyseessä on erään ohjelman syntaksin ja makrojen opettelu.  Eikä ohjelmaa tarvitse enää missään, kun on valkolakin saanut. No, poikkeuksena matematiikan opettajat.

Yleensä ensimmäinen ajatus tilanteen korjaamiseksi on laatia ylioppilaskoetta varten säännöt, miten ohjelmaa saa tai ei saa käyttää ja millaisia lausumia tai perusteluja koesuoritukseen tulee sisällyttää. Matematiikan tunteja voidaan tietenkin käyttää näiden sääntöjen opetteluun, mutta ei sekään ole matematiikkaa.

Perusongelmana on, että matematiikan osaamista on perinteisesti testattu antamalla laskettavaksi joukko tehtäviä. Jos nämä on saatu edes likimain oikein, on katsottu, että matematiikan osaaminen on tullut näytetyksi. Laskentavälineiden aikakaudella näin ei kuitenkaan ole. Hyvillä ohjelmistoilla on mahdollista saada oikeita tuloksia mitään ymmärtämättä. Tosin myös täysiä päättömyyksiä.

Luontevaa olisi luopua ajatuksesta, että oikein laskettu lasku osoittaa ymmärtämistä.  Kysyttäköön sitä, mitä halutaan testata. Esimerkiksi on selostettava, millaisella algebrallisella menettelyllä saadaan tason yhtälö, kun kolme tason pistettä tunnetaan.  Mukaan itse laadittu esimerkki menettelyn soveltamisesta. Arvostelusta voi tulla vaikeampaa, mutta annetaanhan monissa reaaliaineissakin esseevastauksia.

Ohjelmakoodien kirjoittaminenkin soveltuisi tähän yhteyteen. Koodihan on tapa kuvata laskentamenettely.

Koulumaailmassa eniten käytettyjen CAS-ohjelmien (ei yksin GeoGebran) kehitys on ikävä kyllä edennyt väärään suuntaan. Valmiiden funktioiden, komentojen ja toimintojen määrä on suuri ja kasvaa jatkuvasti, mikä lisää kiusausta keskittyä matematiikan opinnoissa näiden opetteluun sen sijaan, että paneuduttaisiin peruskäsitteisiin ja -toimintoihin. Parempi olisi tyytyä melko harvoihin perustoimintoihin, joiden avulla tulisi itse ohjelmoida pidemmälle meneviä funktioita ja toimintoja. Tällöin opittaisiin asioita, joilla on käyttöä myöhemmässä elämässä.

Ohjelmakoodin kirjoittamisella on lisäksi kasvatuksellinen merkitys. Jos koodi ei toimi, se ei ole oikein. Virhe voi olla pieni, mutta se on korjattava eikä selitettävä tuotosta melkein oikeaksi.

maanantai 13. helmikuuta 2017

Innostaako matematiikka?


Kuusikymmentäluvulla — ennen joukko-oppiin lankeamista — lukion matematiikkaan ilmestyi uusia asioita, mm. differentiaali- ja integraalilaskennan epsilon-delta-tarkasteluja. Aivan helppoja nämä eivät olleet, mutta jonkinlaista innostusta oli ilmassa.

Runsasta kymmentä vuotta myöhemmin alettiin ohjelmoida ja taas saatiin jotakin uutta kiinnostavaa. Mukaan tuli numeerinen matematiikka. Olin itsekin kirjoittamassa pikku kirjasta numeerisista algoritmeista; mukana oli BASIC-koodeja.

Samoihin aikoihin ilmestyi Benoît Mandelbrotin kirja The Fractal Geometry of Nature ja alettiin muodostaa laskemalla häkellyttävän monimutkaisia fraktaalikuvioita. Olin esittelemässä itse laskemiani fraktaaleja Matemaattisten opettajien liiton (MAOL) päivillä ja kiinnostusta riitti.

Mitä sittemmin on tapahtunut? Pelkään, että on menty alamäkeä.  Oppisisältöjä on karsittu, osaamista kyllä testataan ja joissakin testeissä on toki menestyttykin, mutta innostusta on vaikea havaita.  Oppikirjat ovat minusta uskomattoman tylsiä. Ylioppilaskoe pakottaa keskittymään tietokoneiden buuttaamiseen eksoottisissa olosuhteissa ja moninaisten ohjelmien käyttämiseen, vaikka niiden tarpeellisuus usein jää hämäräksi.

Olisiko mahdollista tehdä jotakin positiivisempaa? Ehkä se olisi mahdollista. Hyvänä esimerkkinä on Ursa, joka on tehnyt tavattoman paljon tähtitieteen harrastamisen hyväksi. Mutta tähtitiede ei olekaan kouluaine.

Olen kantanut korteni kekoon tekemällä kirjan, jonka kansi on yllä.  Toivon sen osaltaan näyttävän, että matematiikka on laajempaa, monipuolisempaa ja kiintoisampaa kuin koulukurssin perusteella voisi kuvitella. Olkaapa hyvät!

Tarkempia tietoja kirjan omalta nettisivulta http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html.

torstai 26. tammikuuta 2017

Suoran piirtäminen paperin ulkopuolella olevan pisteen kautta

Kaksi pistettä määrää tunnetusti suoran yksikäsitteisesti.  Asettamalla viivoittimen reuna pisteiden kautta suora voidaan alkeisgeometriassa piirtää. Tehtävästä tulee vaikeampi, jos toinen piste sijaitsee piirustuspaperin ulkopuolella ja tunnetaan vain kahden tunnetun suoran leikkauspisteenä. Ongelma tosin on hieman vanhanaikainen: moderneissa geometriaohjelmissahan ei ole piirustuspaperia ja kaukana oleviin pisteisiin päästään käsiksi piirustusalaa skaalaamalla tai siirtämällä.

Tehtävä on kuitenkin mielenkiintoinen ja avaa näköaloja hieman pidemmällekin. Annettuna on siis kaksi suoraa ja piste. Tulee piirtää annetun pisteen $P$ ja suorien $s_1$ ja $s_2$ leikkauspisteen $Q$ kautta kulkeva suora, mutta $Q$ on kuitenkin kaukana.


Tarvittava konstruktio on seuraava: Valitaan jokin piste $K$ ja piirretään sen kautta kolme suoraa (punaiset). Yksi näistä leikkaa suoran $s_1$ pisteessä $A_1$ ja suoran $s_2$ pisteessä $A_2$.  Piirretään suorat $PA_1$ ja $PA_2$. Nämä leikkaavat toisen punaisista suorista pisteissä $B_1$ ja $B_2$. Kolmas punainen suora leikkaa suorat $s_1$ ja $s_2$ pisteissä $C_1$ ja $C_2$.  Piirretään suorat $B_1C_1$ ja $B_2C_2$. Näiden leikkauspiste $R$ on etsittävän suoran piste, ts. pisteet $P$, $Q$ ja $R$ ovat samalla suoralla $s$.

Miksi konstruktio sitten toimii? Kyseessä on Desarguesin lause: Jos suorat $A_1A_2$, $B_1B_2$ ja $C_1C_2$ kulkevat saman pisteen kautta, niin pisteet \[P = A_1B_1 \cap A_2B_2, \quad R = B_1C_1 \cap B_2C_2, \quad Q = C_1A_1 \cap C_2A_2\] ovat samalla suoralla. Tässä $A_1B_1 \cap A_2B_2$ tarkoittaa suorien $A_1B_1$ ja $A_2B_2$ leikkauspistettä jne. Girard Desargues oli ranskalainen 1600-luvulla vaikuttanut matemaatikko (ks. esim. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Desargues.html).

Desarguesin lauseen todistus on helpompi kolmessa dimensiossa kuin kahdessa.

Jos nimittäin kolme punaista suoraa eivät ole samassa tasossa, niillä olevat pisteet $A_1$, $B_1$ ja $C_1$ määräävät erään tason, pisteet $A_2$, $B_2$ ja $C_2$ vastaavasti toisen tason. Näiden leikkaussuora olkoon $s$.

Toisaalta pisteet $K$, $A_1$ ja $B_1$ määräävät tason, jossa myös pisteet $A_2$ ja $B_2$ ovat. Suorat $A_1B_1$ ja $A_2B_2$ sijaitsevat tässä tasossa eivätkä siis ole ristikkäisiä. Tällöin niillä on leikkauspiste $P$. Tämä sijaitsee sekä tasossa $A_1B_1C_1$ että tasossa $A_2B_2C_2$, ts. suoralla $s$.

Vastaavasti voidaan osoittaa, että sekä suorien $B_1C_1$ ja $B_2C_2$ leikkauspiste $R$ että suorien $C_1A_1$ ja $C_2A_2$ leikkauspiste $Q$ ovat suoralla $s$.

Kaksidimensioinen todistus saadaan tämän jälkeen tulkitsemalla kaksidimensioinen kuvio kolmidimensioisen projektiokuvaksi.

Päättelyissä ja jo alkuperäisessä kuviossakin syntyy poikkeustilanteita, jos jotkin suorat eivät leikkaakaan, vaan ovat yhdensuuntaisia.  Esimerkiksi alkuperäisestä kuviosta voi kysyä, mitä tapahtuu, jos suorat $s_1$ ja $s_2$ ovatkin yhdensuuntaiset. Projektiivisessa geometriassa tällaiset ongelmat ratkeavat liittämällä geometriseen tasoon äärettömän kaukaisia pisteitä. Ajatellaankin, että kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa toisensa äärettömän kaukana olevassa pisteessä, johon päästään etenemällä suoria pitkin kumpaan tahansa suuntaan. Tällä tavoin syntyy ristiriidaton — ja kaunis — geometria, mutta kaikkia euklidisen geometrian totuttuja ominaisuuksia sillä ei ole.